Aufgabe:
a) Sei f: C -> C holomorph und exp(f(z)) = c für ein c ∈ C und alle z ∈ C. Zeige: f ist konstant.
b) Sei g: C -> C holomorph und M ∈ R mit Re(g(z)) ≤ M für alle z ∈ C. Zeige: g ist Komplex:
Problem/Ansatz:
Für a):
f ist ja nach Voraussetzung holomorph und die Exponentialfunktion ja auch. Also ist exp(f(z)) auch holomorph und somit komplex diff'bar. Insbesondere ist exp(f(z)) = c ≠ 0.
Es gilt nun also 0 = d/dz(c) = d/dz(exp(f(z))) = exp(f(z)) * d/dz(f(z)) = c * d/dz(f(z)), da c ≠ 0 muss d/dz(f(z)) = 0 sein und somit f(z) konstant.
Passt das so???
Für b):
Wir wissen wieder exp(g(z)) ist holomorph auf C und es gilt für g(z) = u(z) + i*v(z),
exp(g(z)) = exp(u) * exp(iv) = exp(u) * (cos(v) + i*sin(v)).
Nun wissen wir:
- exp(u) ≤ exp(M) < ∞, also exp(u) ist beschränkt
- cos(v) + i*sin(v) ist beschränkt da cos bzw. sin beschränkt sind.
Also ist exp(u) * (cos(v) + i*sin(v)) beschränkt.
Nach dem Satz von Liouville ist also exp(g(z)) konstant woraus mit a) folgt g(z) ist konstant, also die Behauptung.
Habe ich hier grobe Fehler gemacht?
