Aufgabe:
Für alle \( \xi, \eta \in \mathbf{R} \) gilt \( \exp (\xi+\eta)=\exp (\xi) \exp (\eta) \).
Hinweis: Betrachten Sie zu festem \( \xi \in \mathbf{R} \) die reellen Funktionen \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \) \( (0, \infty) \) mit \( f(\eta)=\exp (\xi+\eta) \) und \( g(\eta)=\exp (\xi) \exp (\eta) \) für alle \( \eta \in \mathbb{R} \) und zeigen Sie, dass \( \frac{f}{g} \) konstant ist.
Problem/Ansatz:
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, zeigt man f/g konstant nur, weil man dadurch die gesuchte Gleichheit zeigen kann. Problem ist, wie zeigt man das f/g konstant ist.
Meine Idee: man verwendet das Kriterium für Konstanz
Sei \( I=[a, b] \subset \mathbb{R} \) ein kompaktes Intervall mit \( a<b \). Sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und in \( (a, b) \) differenzierbar mit \( f^{\prime}(x)=0 \) für alle \( x \in(a, b) \). Dann ist \( f \) konstant.
Nur habe ich jetzt das Problem, wie ich die Voraussetzungen des Kriteriums zeigen soll: weil ich hab weder ein kompaktes Intervall gegeben, noch weiß ich, wie ich (f/g)' = 0 zeigen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen.
PS: ich weiß das normalerweise Cauchy-Produkt für den Beweis genutzt werden kann, aber mein Übungsleiter will, dass wir das nach dem Hinweis beweisen
