beweis, dass eine folge (a_n) für große n konstant wird

Question

ich habe folgende frage:

sei (a_n)_n∈ℕ ⊂ℤ⊂ℝ eine gegen a∈ℝ konvergente Folge ganzer Zahlen in ℝ.

Wie beweise ich nun, dass die folge (a_n)_n∈ℕ für große n∈ℕ konstant wird, d.h. ∃N∈ℕ:∀n≥N:a_n =a ?

und wie folgere ich daraus dann, dass a∈ℤ ?

Lg mimi

Answer 1

Wenn die Folge nur ganzzahlige Folgenglieder hat, (Das ist doch die Vor.)
und einen Grenzwert g, dann liegen von einem gewissen no an alle
Folgenglieder z.B. in der Umgebung von g mit Radius (1/2).
(GW-Definition mit epsilon = 1/2)
Diese Umgebung ist aber ein offenes Intervall mit der Länge 1,
ein solches enthält nur eine einzige ganze Zahl.
Da aber alle (restlichen)  Folgenglieder in dieser Umgebung liegen,
haben sie alle diese ganze Zahl als Wert, also an konstant (von no ab)

Comments

wenn die Folge letztlich konstant ist, dann ist diese Konstante ja der Gw.

Answer 2

Für alle \( \varepsilon > 0\) gilt nach Voraussetzung (Konvergenz) für genügend große \( n\in \mathbb{N}: |a_n - a| < \varepsilon \). Wenn \(a \notin \mathbb{Z} \) ist, so gilt \( a = \lfloor a \rfloor + \delta\) wobei \( \delta \in (0,1)\) liegt und \(\lfloor \cdot \rfloor\) die Abrundungsfunktion bezeichnet. Oder mit anderen Worten: \(a\) hat einen ganzzahligen Teil plus einen reellen Teil zwischen 0 und 1, wie z.B. 1,5=1+0,5.

Setze jetzt \( \varepsilon = \delta\). Was passiert?