f konstant <=> |f| konstant

Question

Hallo, ich häng in der Aufgabe fest: ich soll zeigen, dass f konstant äquivalent zu |f| konstant ist.

"=>" hätte ich so argumentiert, dass der Betrag eines konstanten Werts ebensfalls konstant sein muss, da er diesen ja nur positiv macht. Bin mir allerdings nicht sicher ob man das so sagen kann.

Bei "<=" würde ich eine Fallunterscheidung machen. Da nach Def der Norm c=0 <=> |c|=0 ist, ist das schonmal abgehakt. Für c≠0 hab ich keine Ahnung.

Danke für die Hilfe

Comments

Bin immer alle Details vollständig angeben. Was ist \(f\)?

Answer 1

dass aus |f|=const folgt f=const ist einfach falsch nimm f=-1 für x<0 und f=1 für x>=0 dann it der Betrag konstant aber f nicht. Also sollte f stetig sein? Dein Argument ist schlecht formuliert, versuch es mit Formeln zu schreiben.

lul

Comments

Ich vermute aufgrund der Fragenhistorie, dass es um holomorphe Funktionen geht. Dort gilt die Aussage.

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Aus diesem Grund sollte man Rückfragen erst einmal abwarten und nicht einfach drauf los antworten. Wenn der FS der Meinung ist, nicht darauf reagieren zu müssen, hat er sowieso keine Antwort verdient.

Answer 2

Ich gehe davon aus, es geht darum, dass \(f:D\to \mathbb{C}\) eine holomorphe Funktion ist, wobei \(D\) offen und wegzusammenhängend ist.

Die Hin-Richtung ist klar. Ist \(f\) konstant, dann sind auch alle Verknüpfungen mit \(f\) konstant.

Für die Rückrichtung: Angenommen, du hast so ein \(f\) und \(|f|=c\) ist konstant. Das bedeutet, dass \(\mathrm{bild}(f)\subseteq \{z\in\mathbb{C}||z|=c\}\), was keine in \(\mathbb{C}\) echten offenen Teilmengen besitzt. Gleichzeitig ist jedes \(f(z)\) globales Maximum. Es folgt jetzt entweder aus dem Maximum Modulus Principle oder dem Open Mapping Theorem, dass \(f\) konstant sein muss. Jenachdem, was du in der Vorlesung hattest oder mehr magst, im Grunde sind beide Theoreme das gleiche.