Wie zeige ich, dass die Funktion konstant ist?

Question

Aufgabe:

Zeige mit der Ungleichung

|f(x) − f(y)| ≤ |x − y|^3,

dass die Funktion f konstant ist.

Problem/Ansatz:

Für Konstanz muss man prüfen, ob die Ableitung der Funktion für alle x-Werte = 0 ist, die Ableitung erhält man, wenn man durch (x-y) teilt. Wie muss ich weitergehen?

Comments

Wenn du durch (x-y) teilst, läuft das vermutlich auf Fallunterscheidungen hinaus. Will man die vermeiden, könnte man stattdessen durch |x-y| teilen, dazu muss nur x≠y angenommen werden. Dann kann man den Grenzwert y->x beider Seiten betrachten.

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass \(f\) eine reellwertige Funktion

auf einem offenen Intervall \(I\) der reellen Achse ist.

Fener sei \(f\) überall differenzierbar. Ist nun \(x_0\in I\) beliebig,

dann $$|f'(x_0)|=|\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\lim_{x\rightarrow x_0}|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|\leq \lim_{x\rightarrow x_0}|x-x_0|^2=0$$.

Da \(x_0\) beliebig ist, ist die erste Ableitung konstant Null, die Funktion

selbst also konstant.

Comments

Wie leitet man denn her, dass die Ableitung konstant Null ist, wenn x0 beliebig ist? Ich verstehe den Schritt leider nicht ganz

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\(x_0\) ist zwar beliebig, aber bei der Limesbildung fest.

Ich habe nur die Definition des Differentialquotienten benutzt.

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Das macht Sinn, vielen Dank!

Answer 2

Gehen wir von der gegebenen Ungleichung aus und setzen möglichst wenig voraus. Seien also \(x,\:y\in\mathbb{R}\) beliebig und sei \(y\ne x\). Die Ungleichung lässt sich dann so umformen: $$ (1)\quad\left|f(x) − f(y)\right| \le \left|x − y\right|^{3} \\ (2)\quad\dfrac{\left|f(x) − f(y)\right|}{\left|x − y\right|} \le \dfrac{\left|x − y\right|^{3}}{\left|x − y\right|} \\ (3)\quad\left|\dfrac{f(x) − f(y)}{x − y}\right| \le \left(x − y\right)^{2} \\ (4)\quad-\left(x − y\right)^{2} \le \dfrac{f(x) − f(y)}{x − y} \le \left(x − y\right)^{2} \\ (5)\quad-\lim\limits_{y\to x}\left(x − y\right)^{2} \le \lim\limits_{y\to x}\dfrac{f(x) − f(y)}{x − y} \le \lim\limits_{y\to x}\left(x − y\right)^{2} \\ (6)\quad 0 \le \lim\limits_{y\to x}\dfrac{f(x) − f(y)}{x − y} \le 0 $$Wir wissen in Zeile (5) noch nicht, dass der mittlere Limes existiert, da die Differenzierbarkeit von \(f\) nicht vorausgesetzt wurde. Da aber die beiden anderen Limiten existieren und beide Null sind (6), folgt daraus nun die Differenzierbarkeit von \(f\) und auch die Gestalt der Ableitungsfunktion \(f'\). Es gilt also $$(7)\quad f'(x) = \lim\limits_{y\to x}\dfrac{f(x) − f(y)}{x − y} = 0 $$ Weiter folgt daraus, dass \(f\) konstant sein muss.