! Folgende Aufgabe liegt mir vor:
Sei Ω ⊆ ℝn ein Gebiet und f: Ω→ℝ eine Funktion, für die |f(y)-f(y*)| ≤ C ||y-y*||α für alle y,y*∈Ω gilt, wobei C≥0 und α>1 Konstanten sind sowie ||.|| die Norm auf dem ℝn . Zeige, dass f konstant auf Ω ist.
Soweit ich mir überlegt habe, ist die Idee die folgende: Wir können ersteinmal zeigen, dass f gleichmäßig stetig ist, das ist kein Problem. Nun wissen wir: Wir finden zwischen zwei beliebigen Punkten in dem Gebiet einen stetigen Weg c, der diese verbindet. Zu jedem Punkt y auf dem Weg c existiert eine Kugel Bε(y), die wegen der Offenheit in Ω liegt. Es reicht also, die Behauptung für eine solche Kugel zu zeigen (dann kann man das auf die gesamte Menge hochziehen). Also nehmen wir an, dass f nicht konstant auf dieser Kugel Bε(y) ist und betrachten darin einen Punkt y* mit |f(y)-f(y*)|>Μ. Dann gilt wegen der Voraussetzung auch M<|f(y)-f(y*)|≤C ||y-y*||α
doch dann hapert es gerade. ^^ Ich könnte nun vielleicht etwas mit Grenzwerten versuchen, da ich ja die gleichmäßige Stetigkeit habe. Oder kann ich hier sogar irgendwie die Differenzierbarkeit im ℝn schlussfolgern?
^^
LG
