Eine reellwertige Funktion bestimmen

Question

Hallo könnte mir jemand hier weiterhelfen? Ich würde gerne wissen wie man eine solche Reellwertige Funktion zu punkt a) finden bzw. bestimmen kann. die weiteren Punkte b-d) würde ich gerne dann selbst probieren .

Answer 1

a) Du musst nur schauen, dass alle Wurzeln auch definiert sind,

es darf ja keine negative Zahl in der Wurzel stehen.

Also muss jedenfalls x≥0 sein und x≤625

damit √x nicht größer als 25 wird.

Dann wird  wurzel( 25 - wurzel(x) ) zwischen

0 und 5 schwanken und wenn diese Werte von 9 subtrahiert werden,

entsteht jedenfalls keine neg. Zahl.

Also ist alles wohl definiert.

injektiv ? Seien also x1 und x2 aus [0;5] und die Funktionswerte gleich,

also   wurzel( 9 - wurzel( 25 - wurzel(x1) )) =  wurzel( 9 - wurzel( 25 - wurzel(x2) ))

nach quadrieren also   9 - wurzel( 25 - wurzel(x1) ) = 9 - wurzel( 25 - wurzel(x2) )

also   wurzel( 25 - wurzel(x1) =  wurzel( 25 - wurzel(x2)      wieder quadrieren

25 - wurzel(x1) = 25 - wurzel(x2)  

also in der Tat x1 = x2,    Fkt. ist injektiv.

surjektiv: wie oben erwähnt schwankt  wurzel( 25 - wurzel(x) )

zwischen 0 und 5  also   9 - wurzel( 25 - wurzel(x) )

zwischen 9 und 4

und daraus die Wurzel dann zwischen 3 und 2

Bei W = [2;3] also surjektiv.

Umkehrung      x = wurzel( 9 - wurzel( 25 - wurzel(y) ))

x^2 = 9 - wurzel( 25 - wurzel(y) )

x^2 - 9 = - wurzel( 25 - wurzel(y) )     quadrieren

( x^2 - 9 ) ^2 = 25 - wurzel(y)

( x^2 - 9 ) ^2 - 25 = - wurzel(y)

( ( x^2 - 9 ) ^2 - 25 ) ^2 = y  

also f ^-1 ( x) =  ( ( x^2 - 9 ) ^2 - 25 ) ^2    für x aus [2;3]

Comments

Vielen Dank , das war sehr Hilfreich ! :)

Answer 2

a)

es muss gelten:

√x definiert, also x≥ 0

√(25 - √x)  definiert, also 25 - √x ≥ 0 ⇔ √x ≤ 25 ⇔ x ≤ 625 

√ (9 - √(25 - √x) ) definiert, also 9 - √(25 - √x) ≥ 0 ⇔ √(25 - √x)  ≤  9 ⇔ 25 - √x ≤ 81 ⇔ √x ≥ - 56  für alle x erfüllt.

also: 0 ≤ x ≤ 625  →  D_max = [ 0 ; 625 ]

b) 

√x ist  streng monoton steigend

-→  25 - √x  ist  streng monoton fallend

→   √ (9 - √(25 - √x) )  ist  streng monoton steigend

→   f ist injektiv

c)    W( f(D) )  =  [ f(0) ; f(625) ] = [ 2 ; 3 ] 

d)

Funktionsgleichung  y =  √ (9 - √(25 - √x) )  nach  x  umformen, D und W "vertauschen sich".

Gruß Wolfgang