Durchschnitt zweier Vektorräume: Bestimmen Sie die Dimension. Finden Sie einen Unterraum.

Question

Aufgabe:

Es sei \( \alpha \) eine reelle Zahl und

\( U=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \quad \text { sowie } \quad U_{\alpha}=\left\langle\left(\begin{array}{c} 1 \\ \alpha \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \alpha \end{array}\right)\right\rangle \)

zwei Unterräume von \( \mathbb{R}^{4} \) (aufgefasst als Räume von Spaltenvektoren).

(i) Bestimmen Sie die Dimension von \( U \cap U_{\alpha} \) und \( U+U_{\alpha} \) in Abhängigkeit von \( \alpha \).

(ii) Finden Sie einen Unterraum \( V \subset \mathbb{R}^{4} \) mit \( V \neq U_{\alpha} \) für alle \( \alpha \) und so, dass \( V \oplus U=\mathbb{R}^{4} \) gilt.

Answer 1

schreib mal alle 4 vektoren in eine Matrix und bringe sie auf stufenform.
Dann siehst du, für a ungleich 3 sind sie alle 4 linear unabhängig, also
ist dann der durchschnitt der Unterräume nur der Nullvektor. also dim=0
für a=3 läßt sich der dritte also (1,a,0,3)^T als linearkom. der ersten
beiden darstellen, ist also in U
der 4. lässt sich allerdings nicht durch die ersten beiden darstellen,
also ist der durchschnitt der Unterräume der von   (1,3,0,3)^T erzeugte
Unterraum also dim=1

entsprechend ist für a ungleich 3 die Summe U+Ua = IR^4 da die 4 gegebenen Vekroren
dann eine Basis für IR^4 bilden und
für a=3 ist die Summe U+Ua der von den ersten beiden und dem 4. erzeugte
Unterraum von IR^4 .

b) dazu musst du nur die beiden Erzeugenden von U zu einer Basis von IR^4 ergänzen und die
beiden ergänzten Vektoren dürfen für kein a den ganzen Raum Ua erzeugen.
dazu kannst du 1,0,0,0 und 0,1,0,0,  nehmen.