Dimension und Schnitt zweier UVR

Question

Durchscnitt und Summe bestimmen:

Ich soll die Summe und den Durchschnitt berechnen um später dann die Dimension, Basis oder direkte Summe

zu bestimmen... Allerdings verstehe ich jedoch nicht wie man überhaupt die Summe oder den Durchschnitt

bestimmt und ich finde keine Beispiele dazu im Internet.

Ich würde mich sehr darüber freuen wenn mir jemand, anhand dieses Beispiels, zeigen kann wie man grundsätzlich die Summe oder den Durchschnitt berechnet.

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Text erkannt:

\( U_{1}=\mathcal{L H}\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)\right) \)
\( U_{2}=\mathcal{L H}\left(\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 1 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right) \)

Answer 1

Für die Summe brauchst du nur die 6 erzeugenden Vektoren zusammen in

eine Menge packen und davon die lineare Hülle untersuchen, denn das ist

dann die Summe der beiden Unterräume.

Für den Durchschnitt betrachtest du die Vektoren, die sich sowohl durch

die ersten 3 als auch durch die anderen 3 als Linearkombination darstellen

lassen, also einen Ansatz in der Art:

\( a \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) +b \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) + c\cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) = d \cdot \left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) + e \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+ f \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)

und löse das Gleichungssystem.

Für die Summe der Räume setze die 6 Vektoren als Spalten in eine Matrix

und bestimme davon den Rang, das ist die Dim. der Summe.

Comments

Also nochmal zum Verständnis für mich;

Die Summe ist einfach nur die LH aller 6 Vektoren und den Durchschnitt erhalte ich durchs lösen des LGS.

Richtig?

Und angenommen ich möchte die Dimension vom Durchschnitt berechnen, ziehe ich alles auf eine Seite und löse das LGS dann?

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Und angenommen ich möchte die Dimension vom Durchschnitt berechnen, ziehe ich alles auf eine Seite und löse das LGS dann?

Ja, aber das musst du dann noch richtig interpretieren.

Hier erhalte ich z.B.

f=0 und e frei wählbar und d=-e (falls ich richtig gerechnet habe)

Also sehen diejenigen, die in beiden Unterräumen liegen so aus :

\(  -e \cdot \left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) + e \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+ 0 \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)

\(= \left(\begin{array}{l}-3e+e \\ -6e \\ -e+e \\ -4e\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}-2e \\ -6e \\ 0 \\ -4e\end{array}\right) \)

Das sind also alles Vielfache eines Vektors, somit ist die dim=1.