Taylorreihe für f(x) = (1+x)^n

Question

Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen? Für die Funktion f(x) = (1+x)^n soll die Taylorreihe um x0=0 bestimmt werden ( für alle Ordnungen). Erst soll ein Ausdruck für die n-te Ableitungen gefunden werden, danach soll dieser in die Formel der Taylorreihen eingesetzt werden.

Ich bedanke mich im Voraus.

Comments

Was bekommst du denn für die dritte Ableitung im Fall n=3 heraus?

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3(x+1)^2

Wäre es also n(x+1)^(n-1) ?

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Das ist die erste Ableitung.

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Danke für die Antwort, das hatte ich überlesen. Die dritte Ableitung wäre 6.

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Ja. Und jetzt mach das mal für n=4 ohne die entstehenden Faktoren zu multiplizieren.

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4*3*2(1+x)

Hier wäre es n*n-1*n-2(1+x)^n-3

Wäre es dann allgemein

n*n-1…n-k+1(1+x)^(n-k) ?

k wäre die Anzahl der Ableitungen, oben wären es dann drei

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Du musst noch eine Ableitung weiter gehen.

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du nichts zu rechnen. Verwende stattdessen den binomischen Lehrsatz$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$mit \(a=1\) und \(b=x\), um die folgende Reihe zu erhalten:$$(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$