Limes einer Folge | Konvergente Taylorreihe für f(x)=e^x*sin(x) | Konvergenz der Reihe 1/(n²+2^n)

Question

Für meine Klausurvorbereitung muss ich die folgenden 3 Aufgaben verstehen. Könnt ihr mir helfen?

Aufgabe 1:

Berechnen Sie, wenn möglich, den Limes der Folge (x_n)_n≥0‚ welche rekursiv definiert ist durch:

$$ x _ { 0 } = 0 , x _ { 1 } = 1 , x _ { n + 1 } = \frac { 1 } { n + 1 } x _ { n - 1 } + \frac { n } { n + 1 } x _ { n } \quad ( n \geq 1 ) $$

Aufgabe 2:

2a) Beweisen Sie, dass die Funktion

f : R → R, f(x) := e^x * sin(x)  (x ∈ R)

eine auf ganz R konvergente Taylorreihe hat, und berechnen Sie ihre Koeffizienten.

b) Konvergiert die Taylorreihe von f gegen die Funktion f?

Aufgabe 3:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } · 2 ^ { n } } $$

Answer 1

Lösung Aufgabe 1:

Dies ist eine Rekursionsformel, wir können schlussfolgern:

$$ x _ { n + 1 } - x _ { n } = \frac { - 1 } { n + 1 } \left( x _ { n } - x _ { n - 1 } \right) $$

Du kannst dann mit Hilfe einer Teleskopsumme diese Gleichung umformen und dann den Grenzwert berechnen. 

Lösung Aufgabe 2a:

Hierzu die Funktion ableiten.

Lösung Aufgabe 2b:

Nutze hier die Reihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung) und vergleiche dann mit dem Ergebnis aus a.