Unterräume für R3 mit a und b

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass

W= {\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)∈ℝ³ | \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} α\\α+β\\α+β \end{pmatrix} \) ,α,β ∈ ℝ } ein Unterraum des ℝ³ und das {\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) } eine Basis vom W ist. Welche Dimension hat W

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dir die Vektoren aus \(W\) geschickt aufschreibst:$$\small\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(\alpha+\beta)-\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\beta\\0\\0\end{pmatrix}=(\alpha+\beta)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\beta\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

erkennst du sofort, dass die beiden Vektoren \((1;1;1)^T\) und \((1;0;0)^T\) eine Basis bilden.

Die Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogar durch den Ursprung geht. Daher handelt es sich bei \(W\) tatsächlich um einen Untervektorraum des \(\mathbb R^3\). (Wichtige Regel: Es gibt keinen Vektorraum ohne Ursprung).

Answer 2

Hier die selbe Frage + Antwort

https://www.mathelounge.de/1017798/wie-beweist-man-den-unterraum-und-die-basis-von-einer-menge

lul