Untersuchen Sie den Abstand von E zum Ursprung in R3 (d.h. die Euklidische Norm eingeschränkt auf E) auf globale Extrema

Question

Ich stehe im Moment vor folgender Aufgabe

Untersuchen Sie den Abstand von E⊂R3 zum Ursprung in R3 (d.h. die Euklidische Norm eingeschränkt auf E) auf globale Extrema. Mit h(x,y,z) = 13x^2+13y^2+36z^2-10xy-4x-4y-36=0. Ich habe mir überlegt den Abstand mit Lagrange zu bestimmen. Ich komme dann auf folgende Gleichung

L(x,y,z,λ) = x^2+y^2+z^2 + λ(13x^2+13y^2+36z^2-10xy-4x-4y-36)

Muss ich jetzt einfach diese Funktion auf globale Extrema mit dem Gradienten und der Hesse-Matrix prüfen?

Answer 1

  Es gibt da einen unverschämten Trick. Du bestimmst die Extrema von

  h  (  x  ,  y  ,  z  )  :=  13  (  x  ²  +  y  ²  )  +  36  z  ²  -  10  x  y  -  4  (  x  +  y  )  =  extr    (  1a  )

     mit der Nebenbedingung

     E  (  x  ,  y  ,  z  )  :=  x  ²  +  y  ²  +  z  ²  =  const     (  1b  )

    Das ist das Selbe in Grün, weil du dann den Lagrangeparmeter   1 / k hast. Ist das so weit klar?

   Ganz allgemein; bei Giuseppe Lodovico Lagrangia merkst du sofort:

   Größtes Volumen bei konstanter Oberfläche oder kleinste Oberfläche bei konstantem Volumen. Das ist die swelbe Aufgabe .

   Weitere Vereinfachung;  gleich der erste Term  in ( 1a )

     13  (  x  ²  +  y  ²  )  +  36  z  ²  =  13  (  x  ²  +  y  ²  +  z  ²  )  +  23  z  ²  =     (  1c  )

     =  13  *  const  +  23  z  ²  =  23  z  ²        (  1d  )

     (  Den konstanten Term in ( 1d ) können wir ignorieren. )

        h  (  x  ,  y  ,  z  )  =  23  z  ²  -  10  x  y  -  4  (  x  +  y  )  =  extr          (  1e  )

    H  (  x  ,  y  ,  z  )  :=   h  (  x  ,  y  ,  z  )  +  k  E  (  x  ,  y  ,  z  )        (  2a  )

    H_z  =  2  (  23  +  k  )  z  =  0  ===>  k  =  (  -  23  )  v  z  =  0      (  2b  )

    H_x  =  -  2  (  5  y  +  2  )  + 2  k  x  )  =  0       (  3a  )

              k  x  -  5  y  =  2     (  3b  )

     und für y ganz symmetrisch

        -  5  x  +  k  y  =  2           (  3c  )

   Erste Möglichkeit; k = ( - 23 )

      23  x  +  5  y  =  (  -  2  )     (  3d  )

       5  x  +  23  y  =  (  -  2  )    (  3e )

     mit der symmetrischen Lösung

     x  =  y  =  (  -  1/14  )      (  4a  )

    Nehmen wir etwas Bestimmtes an;  

      x  ²  +  y  ²  +  z  ²  =  1  ===>  z  ²  =  97/98      (  4b  )

   Was du jetzt tun musst; dieses Tripel x , y , z  ( 4ab ) in h einsetzen.   Und wenn du z = 0 hast, dann ist erst mal k unbekannt.   Dann lautet die Lösung von ( 3ab )

      x  =  y  =  2 / ( k  -  5  )     (  5a  )

   Dann führt Pythagoras  ( 4b  ) auf die quadratische Gleichung

     (  k  -  5  )  ²  =  8      (  5b  )

    k  ²  -  10  k  +  17  =  0     |  MF    (  5c  )

   k1;2  =  5  -/+  2  sqr  (  2  )      (  5d  )

   Mit  ( 4ab  ;  5a;d )   hast du nunmehr drei Kandidaten. Einer  wird dir das kleinste h liefern, einer  den größten Wert und  einer einen mittleren.

   Mit der ursprünglichen Aufgabe verhält es sich natürlich  umgekehrt;  maximales h bei konstantem E  entspricht minimalem Abstand E bei konstantem  h .

Comments

Schon mal danke für die ausführliche Erklärung :)

Ich komme bis 4a) mit. Wieso dürfen wir die Nebenbedingung gleich 1 setzen?

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Ich habe es jetzt mal zu ende gerechnet aber ich bin mir ziemlich unsicher.

Habe folgende Punkte bekommen

P1=(-1/14, -1/14, +sqrt(97/98))

P2=(1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)

P3=(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2), 0)

In h eingesetzt bekomme ich

h(P1)= 2/7

h(P2)= -28 - 4*sqrt(2)

h(P3)= 4*sqrt(2) - 28

Also ist für P1 der Abstand zu E minimal und für P2 maximal

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   Halt Kommando zurück. An einer ganz bestimmten Stelle habe ich Mist gebaut.  Wir haben ja das duale Problem untersucht - extremales ( oder stationäres ) h bei konstantem E . Das ist in so weit ganz ok , weil die Lösungen der beiden Probleme ja äquivalent sind.

   Aber statt ( 1.4b  )  muss es ja anders weiter gehen. Ich habe übrigens in Wolfram gespickt;  bei deiner Funktion   (  2.1  )  handelt es sich ja um eine implizite Funktion  z  =  f  (  x  ;  y  )   die auf dem |R  ²  definiert ist - ein Ellipsoid .  Du sollst also die beiden Punkte des  Ellipsoids angeben, die am Nächsten bzw. am Weitesten vom Ursprung entfernt sind.

13  (  x  ²  +  y  ²  )  +  36  z  ²  -  10  x  y  -  4  (  x  +  y  )  -  36  =  0   (  2.1  )

    Wir setzen x und y aus ( 1.4a ) ein in ( 2.1 ) und bestimmen  z .

   Ich hab das jetzt mal Wolfram übertragen; du findest

     z1;2  =  -/+  1/21  sqr  (  433  )     (  2.2a  )

    und aus   (  1.4a;2.2a  )  den  Abstand

 E = sqr [ 2 * ( 7.143 E-2 ) ² + .9909  ²  ]  =   (  2.2b  )

    =  .9909  sqr  [  1  +  2  *  (  7.143 E-2 / .9909 ) ²  ]   =   (  2.2c  )

    =  .9909  sqr (  1.010  )  =  .9958     (  2.2d  )

   (  Ein kleiner nummerischer Trick; wenn du so eine Pythagorassumme aus drei Quadraten hast. Dann ziehst du immer die " Größenordnung " , sprich: den größten der drei Terme heraus.  Die Wurzel kann dann nie größer werden als Wurzel ( 3 ) - worst case. )

   Im Falle z = 0 hatten wir gefunden  ( 1.5a )

    x  =  y  =  2 / u  ;  u  :=  k  -  5       (  2.3a  )

   Das setzen wir jetzt in ( 2.1  )ein, um u  aus der Nebenbedingung zu bestimmen.

    16 / u ²  -   4 / u  -  9  =  0     (  2.3b  )

    9  u  ²  +  4  u  -  16  =  0    (  2.3c  )

   mit den Lösungen

    u1 = - 2/9 [ 1 + sqr ( 37 ) ] = (  -  .1.574  )     (  2.4a  )

   x1  =  y1  =  2 / u1 =  (  -  1.271  )    (  2.4b  )

   E1  =  | x1 |  sqr  (  2  )  =  1.797      (  2.4c  )

   u2  =  2/9  [  sqr  (  37  )  -  1  ]  =  1.130       (  2.5a  )

    x2  =  1.770  ;  E2  =  2.503    (  2.5b  )

   In meinem Alter hat man den Durchblick. Es gibt nur zwei seriöse Schulfächer; Mathe und Latein. Alle anderen Fächer sind nur Laberfächer. Ein Lateinlehrer, der sich nur einen Fehler erlaubt; ein Mathelehrer, der sich nur einmal verrechnet. Sind bei der Klasse unten durch.

   Früher war mir das gar nicht so klar; Mathelehrer kannstr du nur sein, wenn du irgendwo an ein Rechenwunder grenzt.  A Propos;  als sog. " Regionalsieger " in der Matheolympiade bekam ich eine Freikarte für  ===>  Shakuntala Devi . Die war schon mit  Fünf ein Rechenwunder.

   Weißt du, was ein Entwicklungsland ist? Als die Fünf war, sprach ihr Vater also

   " Bewahre deine Gesundheit und deinen klaren Geist.  Du bist unsere einzige Hoffnung, dass die Familie satt wird ... "

   Also mir ist das nicht gegeben.  Auch meine Konzentration lässt nach; du hast mich total geschafft. Solltest du noch Rechenfehler finden, lass es mich wissen.

   Aber aus einem anderen Grunde fühlte ich mich verpflichtet, doch nochmal hier vorbei zu schauen. Da gibt es nämnlich noch eine Lösung von ( 1.3bc )  ,  die hatte ich letztes Mal glatt übersehen.  Die Determinante dieses  LGS   wird ja singulär für k1;2  =  (  -/+  5  )   Was ergeben sich daraus für Lösungen?  Zunächst  k2 = 5

      x  -  y  =  2/5      (  2.6a  )

      x  -  y  =  (  -  2/5  )     (  2.6b  )

    Das widerspricht sich ja total; die Gleichungen zweier Parallelen, die sich nicht schneiden. Keine Lösung. Aber  k1 = ( - 5 )  geht gut. Hier kriegst du zwei Mal die selbe Aussage

        y  =  -  (  x  +  2/5  )       (  2.7  )

    Wir schneiden die Gerade ( 2.7 ) mit der Ellipse  (  2.1  )

   Ich hab das jetzt Wolfram übertragen; du bekommst die quadratische Gleichung

    225  x  ²  +  90  x  -  202  =  0     (  2.8  )

   (  Mir fällt grad auf: Sämtliche Lösungen liegen immer auf der  WH  ;   in  (  2.1  )  hast du Symmetrie zwischen den Variablen x und y )