Hallo,
sei \(M:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2\}\) wobei \(R>r>0\). Zu zeigen ist nun, dass diese Menge eine \(2\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\) ist. Das beschreibt, wie schon erwähnt, einen Torus.
Wir setzen nun \(F_{R,r}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} , \, (x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2-r^2\) (dann ist nämlich \(M=F_{R,r}^{-1}(\{0\})\)) und benutzen den Satz vom regulären Wert. Dafür berechne ich erst einmal den Gradienten von \(F\) und setze diesen Null:$$\nabla F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x\left(2-\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\y\left(2-\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\2z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ Offensichtlich ist dies erfüllt für \((x,y,z)=(0,0,0)\). Weiter ist \(\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}=2\) genau dann, wenn \((0,R,0)\) oder \((R,0,0)\) und \(R>0\) (ist aber vorausgesetzt).
Warum liegen diese Punkte nicht in \(M\)?
Einfach einsetzen! Z. B. ist \((0,0,0)\notin M\), denn \((\sqrt{0^2+0^2}-R)^2+0^2=R^2=r^2\). Dies kann aber nicht sein, da \(R>r>0\) vorausgesetzt ist.
Weiterhin ist \((R,0,0)\notin M\), denn \((\sqrt{R^2}-R)^2+0^2=0=r^2\). Dies ist auch falsch, da \(r>0\).
Zuletzt ist \((0,R,0)\) auch nicht in \(M\). Insgesamt ist \(M\), da der Satz vom regulären Wert nun angewendet werden kann, eine \(3-1=2\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\).
Tangentialebene an \(q=(R,0,r)\)
Es gilt \(\nabla F(R,0,r)=(0,0,2r)\neq (0,0,0)\) da \(r>0\). Die Tangentialebene ist folglich gegeben durch:$$\frac{\partial f}{\partial z}((R,0,r))(z-r)=2r(z-r)=0$$
