Zeigen Sie, dass die Menge M = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y, z) löst ( \sqrt{x2+y2} - R )2 + z2 = r2} mit R 0, eine …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge M = {(x, y, z) ∈ R³ | (x, y, z) löst ($\sqrt{x^2+y^2}$ - R )^2 + z^2 = r^2} mit R>r>0, eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R³ ist und bestimmen Sie die Tangentialebene am Punkt q = (R, 0, r).

Problem/Ansatz:

Ist mit der Menge M die Schnittstelle mit der x,y Ebene gemeint?

Ich weiß nicht wie ich mich an diese Aufgabe rantasten soll...

Answer 1

Hallo,

sei $M:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2\}$ wobei $R>r>0$. Zu zeigen ist nun, dass diese Menge eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^3$ ist. Das beschreibt, wie schon erwähnt, einen Torus.

Wir setzen nun $F_{R,r}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} , \, (x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2-r^2$ (dann ist nämlich $M=F_{R,r}^{-1}(\{0\})$) und benutzen den Satz vom regulären Wert. Dafür berechne ich erst einmal den Gradienten von $F$ und setze diesen Null:$$\nabla F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x\left(2-\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\y\left(2-\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\2z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ Offensichtlich ist dies erfüllt für $(x,y,z)=(0,0,0)$. Weiter ist $\frac{2R}{\sqrt{x^2+y^2}}=2$ genau dann, wenn $(0,R,0)$ oder $(R,0,0)$ und $R>0$ (ist aber vorausgesetzt).

Warum liegen diese Punkte nicht in $M$?

Einfach einsetzen! Z. B. ist $(0,0,0)\notin M$, denn $(\sqrt{0^2+0^2}-R)^2+0^2=R^2=r^2$. Dies kann aber nicht sein, da $R>r>0$ vorausgesetzt ist.

Weiterhin ist $(R,0,0)\notin M$, denn $(\sqrt{R^2}-R)^2+0^2=0=r^2$. Dies ist auch falsch, da $r>0$.

Zuletzt ist $(0,R,0)$ auch nicht in $M$. Insgesamt ist $M$, da der Satz vom regulären Wert nun angewendet werden kann, eine $3-1=2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^3$.

Tangentialebene an $q=(R,0,r)$

Es gilt $\nabla F(R,0,r)=(0,0,2r)\neq (0,0,0)$ da $r>0$. Die Tangentialebene ist folglich gegeben durch:$$\frac{\partial f}{\partial z}((R,0,r))(z-r)=2r(z-r)=0$$

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort und deine Hilfe davor auch ^^

Hast mir bei der Aufgabe sehr geholfen.

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Keine Ursache! Grüße.

Answer 2

Nein, ich sehe nicht, dass die Punkte der x-y Ebene die Gleichung erfüllen? und da steht doch deutlich  M ist die Menge der Tripel (x,y,z) die die gegebene Gleichung erfüllen , M ist ne Art Donut. siehe hier für R=2, r=1

Text erkannt:

$\Theta$

Comments

Wie zeige ich, dass es eine 2 Dimensionale Untermannigfaltigkeit ist? Kann ich das mit dem Satz vom regulären Wert machen? Weil ich hätte, wenn ich die Funktion ableite eine Matrix die nur im Punkt 0 nicht Rang 1 hat. Damit habe ich nur reguläre Werte auf der Menge M und das wäre damit eine (3-1) Dimensionale Untermannigfaltigkeit. Oder?

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Satz vom regulären Wert ist eine gute Idee.

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∂_x F = $\dfrac{2x\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}$

∂_y F = $\dfrac{2y\left(\sqrt{y^2+x^2}-R\right)}{\sqrt{y^2+x^2}}$

∂_z F = 2z

Die Matrix J_F = (∂_x,∂_y,∂_z)^T hat nur für den Punkt (0,0,0) Rank <1

Also sind alle Punkte w∈M reguläre Werte und F^-1 ({M}) ist eine 1 Dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Oder mache ich hier etwas falsch?

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Als Tangentialebene habe ich 2r(z-r)=0 und das sieht nach der Seite auch richtig aus.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/jsplotter3d.htm

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habe ich nicht nachgerechnet, sieht aber echt gut aus.

Setz mal den Gradienten gleich 0. Diejenigen $(x,y,z)$, die das erfüllen, sind dann deine kritischen Punkte. Setzt du diese in $F$ ein, erhältst du die kritischen Werte. Die Regulären Werte sind dann das Komplement. Insofern keien kritischen Werte in M liegen, kannst du den Satz vom regulären Wert anwenden.

Du hast dann eine (3-1)=2-dim UMF des IR³

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Ich habe das nochmal so nachgerechnet wie du es gesagt hast. Ich habe als kritische Punkte (0,R,0), (R,0,0) und sqrt(x²+y²) + R. Als kritische Werte habe ich R²-r² und -r² raus. Wie kann ich jetzt pruefen ob diese Punkte in der Menge M sind?

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Ich bin gerade selbst beschäftigt. Ich schreibe dir heute Abend eine ausführliche Antwort. LG.

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Habe mein Wort gehalten! Leider ist es gerade 2:15 Uhr - viel Spaß mit der Antwort.