Abstand d zwischen den beiden windschiefen Geraden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden:
\( \begin{array}{l} g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 5 \end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \lambda_{1} \in \mathbb{R} \\ g_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \quad \lambda_{2} \in \mathbb{R} . \end{array} \)
Berechnen Sie den Abstand \( d \) zwischen den beiden windschiefen Geraden.
\( d= \)

Problem/Ansatz:

Hi Leute kann mir hier jemand die Antwort nennen? Ich will es verstehen da ich bald einen Test schreibe und deswegen gerne mit Erklärung wenn es geht? Vielen Dank Leutee :**

Comments

Ich will es verstehen da ich bald einen Test schreibe

Es gibt bessere Motivatoren. Intrinsisch, und so.

Der Abstand ist \(d= \sqrt{11} \) wobei dann \( \lambda_1 = 4 \) und \( \lambda_2 = 1 \).

---

Und bessere Antworten.

Answer 1

Hallo,

Formel für den Abstand windschiefer Geraden
Die Geraden \( \boldsymbol{g}: \vec{x}=\overrightarrow{\boldsymbol{p}}+\boldsymbol{t} \vec{u} \) und \( \boldsymbol{h}: \overrightarrow{\boldsymbol{x}}=\overrightarrow{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{s} \vec{v} \) sind windschief; der Vektor \( \overrightarrow{\boldsymbol{n}} \) steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Dann beträgt der Abstand dieser Geraden
\(\displaystyle d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\)

Zuerst \( \vec{n}=\begin{pmatrix} 3\\1\\-1 \end{pmatrix} \)mit Hilfe des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren bestimmen. Dann die Werte in die Formel einsetzen:

\(d=\frac{\bigg|\begin{pmatrix} 3-1\\4+1\\5-5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\-1 \end{pmatrix}\bigg|}{\sqrt{11}}=\frac{6+5+0}{\sqrt{11}}=\frac{11}{\sqrt{11}}\approx3,32\)

Gruß, Silvia