Berechnen Sie den Abstand d zwischen den beiden windschiefen Gerade

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden:
\( \begin{array}{l} g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right), \quad \lambda_{1} \in \mathbb{R}, \\ g_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right), \quad \lambda_{2} \in \mathbb{R} . \end{array} \)
Berechnen Sie den Abstand \( d \) zwischen den beiden windschiefen Geraden.
\( d= \)

Problem/Ansatz:

Was kommt hier bei d raus Leute ? gerne mit Rechenweg bitte will es verstehen. Dankee :**

Comments

mit Beispiel:

https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-windschiefer-geraden

Answer 1

Mach dir aus den zwei windschiefen Geraden durch umhängen eines Richtungsvektors einen Punkt und eine Ebene und bestimmt dann den Abstand des Punktes von der Ebene.

P = [-1, 2, 3]

E: X = [2, 3, 3] + r·[-3, 0, -3] + s·[0, -3, -1]

bzw.

E: 3·x + y - 3·z = 0

d = |3·(-1) + (2) - 3·(3) - 0| / √(3^2 + 1^2 + 3^2) = 10/√19 = 2.294

Comments

Danke für diese Antwort :))

Answer 2

Hallo

sieh dir dieses Beispiel an: dannfrag nach, was du nicht verstehst.

https://www.mathelounge.de/893234/abstand-windschiefer-geraden-lotfusspunkt-hilfsebene

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

Möglichkeit mit Hilfsebene:

Stelle eine Hilfsebene aus g1 und dem Richtungsvektor von g2 auf und wandle sie in die Koordinatenform um.

\( H:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{c}0 \\ -3 \\ -1\end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ -3\end{array}\right)\\ H:\; 3x+y-3z=-10 \)

Berechne den Abstand von H zum Ortsvektor P (2|3|3) von g2.

\( d(g ; h)=d(\mathrm{P} ; H)=\displaystyle \frac{|3\cdot 2+ 3+(-3)\cdot 3+10|}{\sqrt{3^2+1^2+3^2}}=\frac{10}{\sqrt{19}}\approx 2,294 \)

Gruß, Silvia

Answer 4

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{\text{min} \Bigl[\Bigl((-1+0 r)-(2-3 s)\Bigr)^{2}+\Bigl((2-3 r)-(3+0 s)\Bigr)^{2}+\Bigl((3-1 r)-(3-3 s)\Bigr)^{2}\Bigr]} \\\\ &=  \sqrt{\frac{100}{19}} = \frac{10}{\sqrt{19}}\end{aligned}\)