Zeigen Sie: dim Span{A^i*v : i € Z} = deg mu_v

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( K \) ein Körper, \( n \in \mathbb{Z}_{>0}, v \in K^{n} \) und \( A \in \operatorname{Mat}(n ; K) \) mit Minimalpolynom \( \mu_{A} \in K[x] \).

Text erkannt:

\( \mathcal{A}_{v}=\{f \in K[x] \mid f(A) v=0\} \) ist ein Ideal in \( K[x] \)

Text erkannt:

\( \operatorname{dim} \operatorname{Span}\left\{A^{i} v: i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\right\}=\operatorname{deg} \mu_{v} \)

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen gescheiten Satz in meinem Skript. Hat jemand eine Idee was man hier machen kann?

Comments

Text erkannt:

Sei \( \mu_{v} \) das normierte Polynom kleinsten Grades mit \( \mathcal{A}_{v}=\left\langle\mu_{v}\right\rangle \).

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Du rechnest nach, dass das ein Ideal ist (Definition anschauen).

K[x] ist ein euklidischer Ring insb. ein Hauptidealring, deshalb findest du das \(μ_v\) mit Grad d

Zeige dann, dass \( A^0v , ..., A^{d-1}v \) linear unabhängig sind. Nimm mal an die wären linear abhängig. Was findest du dann?

Sei dann k≥d. Aus \( \mu_v(A)v = 0 \) erhältst du eine Gleichung der Form

$$ A^ kv = g(A)v $$

Scheibe \(  g = q \mu_v + r \) Etc....

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Ok ich versuche mich später nochmal dran. Vielen Dank!

Answer 1

Aus Wikipedia:

Ein Ideal ist eine Teilmenge eines Ringes, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist.

Seien also n , v und A wie gegeben, dann betrachte:

\( \mathcal{A}_{v}=\{f \in K[x] \mid f(A) v=0\} \)

\( 0 \in \mathcal{A}_{v} \) ist sicher erfüllt; denn für A=Nullpolynom

ist f(A) die 0-Matrix, also f(A) v = 0.

Sind \( f,g \in \mathcal{A}_{v} \)  so gilt

nach Def. der Summe von Polynomen \( (f+g)(A) v= (f(A)+g(A)) v \)

und für die Summe der Matrizen multipliziert mit v

gilt Distributivität also   \(  (f(A)+g(A)) v =  f(A) v + g(A) v \)

und wegen \( f,g \in \mathcal{A}_{v} \) ist das 0+0=0.

Also \( f+g \in \mathcal{A}_{v} \)  und für f-g entsprechend.

Dann sei also jetzt \( g \in K[x] \) und   \( f \in \mathcal{A}_{v} \).

Dann bleibt zu zeigen   \( g \cdot f \in \mathcal{A}_{v} \).

Das geht fast genauso:

\( (g \cdot f)(A) v= (g(A)\cdot f(A)) v \)

Hier wegen Assoziativität \( = g(A)\cdot ( f(A) v ) \)

Und Matrix g(A) mal Nullvektor gibt wieder den 0-Vektor.

Also alles gezeigt: \( \mathcal{A}_{v} \) ist ein Ideal in \( K[x] \).

Comments

Das war zwar nicht die Frage aber so habe ich das Ideal auch bewiesen. Dann weiß ich wenigstens, dass das richtig ist! :D