Eigenwerte || Möglichkeiten für Dimension des ER und Minimalpolynom

Question

Hier betrachten wir den ℝ-Vektorraum V := ℝ⁵ und einen ℝ-Endomorphismus α von V . Wir wissen nur,dass P_α = x²· (x + 2)²· (x − 3) ist, und sollen jetzt Folgendes herausfinden:

(a) Welche Eigenwerte hat α und welche Möglichkeiten gibt es für die Dimension des Eigenraums jeweils?

(b) Welche Möglichkeiten gibt es für Min_α und warum?
Zeigen Sie zum Schluss noch, dass

V = Kern(α²) ⊕ Kern(α² + 4 · α + 4 · id_V ) ⊕ Eig_V(α, 3) ist!

Ansatz:

a) Also wir sehen die EW mit x₁=0, x₂=-2 und x₃=3
Die Dimension des ER wird ja auch geometrische Vielfachheit genannt, aus P_α können wir die algebraische Vielfachheit ablesen, die ist bei x₁ und x₂ =2 und bei x₃ = 1, somit kann für die geometrische Vielfachheit für x₁ = 1 oder 2 sein, bei x₂ = 1 oder 2 und bei x₃ nur die 1 sein? Weil in der Aufgabe von Möglichekiten die Rede ist?

Mathematisch nochmal schön geschrieben wäre das dann nach unserer Vorlesung glaube: 

Möglichkeiten:

dim_ℝ(Eig_V(α,0) ≤ Viel₀(P_α) = 2. Also hat Eig_V(α,0) die Dim. 1 oder 2

dim_ℝ(Eig_V(α,-2) ≤ Viel_-2(P_α) = 2. Also hat Eig_V(α,-2) die Dim. 1 oder 2

dim_ℝ(Eig_V(α,3) ≤ Viel₃(Pα) = 1. Also hat Eig_V(α,3) die Dimension 1 

b) Min_α = Minimalpolynom

hier würden mir folgende Möglichkeiten einfallen:

1) Min_α = (0I - α)²((-2)I-α)²(3I-α) oder auch x²· (x + 2)²· (x − 3)

2) Min_α = x²· (x + 2)· (x − 3)

3) Min_α = x· (x + 2)²· (x − 3)

4) Min_α = x· (x + 2)· (x − 3)

Aber was bedeutet das "Warum"? Was soll ich hier noch erklären?

Bei der letzten Teilaufgabe habe ich keinen Ansatz.

Freue mich über eure Hilfe.^^