Berechnen Sie folgenden Grenzwert für x gegen -4

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie folgenden Grenzwert…

\( \lim\limits_{x\to-4}\frac{x²+3x-4}{x³+9x²+20x} \) 

Zunächst einmal habe ich im Nenner ein x ausgeklammert

\( \lim\limits_{x\to-4}\frac{x²+3x-4}{x*(x²+9x+20)} \)

L`Hosptial

\( \lim\limits_{x\to-4}\frac{2x+3}{1*(2x+9)} \) = \( \lim\limits_{x\to-4}\frac{2x+3}{2x+9} \) = \( \frac{1}{3} \)

Ist das richtig so ?

Comments

Du musst die Aufgabe schon richtig wiedergeben...

:-)

Answer 1

Aloha :)

Du hast im Nenner beim Ableiten die Produktregel ignoriert...

Hast du gesehen, dass man Zähler und Nenner faktorisieren kann?$$\frac{x^2+3x-4}{x^3+9x^2+20x}=\frac{\pink{(x+4)}(x-1)}{x(x+5)\pink{(x+4)}}=\frac{x-1}{x(x+5)}\stackrel{(x\to-4)}{\to}\frac{-5}{-4\cdot1}=\frac54$$

Comments

Hier geht es nicht um Ableitung und Produktregel sondern um Faktorenzerlegung und Kürzen.

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Ja Roland, ich weiß das.

Du hast aber den Sachzusammenhang nicht efasst, denn HorstFabian hat die Aufgabe mit L'Hospital lösen wollen und dabei einen Fehler in der Ableitung des Nenners eingebaut. Damit er weiß, wo sein Fehler liegt, habe ich ihn darauf hingewiesen.

Wie du richtig erkannt hast, habe ich dann die Aufgabe mit Faktorisierung und Kürzen explizit vorgeführt.

Daher bitte in Zukunft erst lesen und dann meckern... Danke ;)

Answer 2

Du hast wohl bereits erkannt, dass -4 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners ist. Teile Zähler und Nenner durch (x + 4).

(x^2 + 3·x - 4) / (x + 4) = x - 1

(x^3 + 9·x^2 + 20·x) / (x + 4) = x^2 + 5·x

Es ist daher

LIM (x → -4) (x^2 + 3·x - 4)/(x^3 + 9·x^2 + 20·x)

= LIM (x → -4) (x - 1)/(x^2 + 5·x) = (-4 - 1)/((-4)^2 + 5·(-4)) = 5/4 = 1.25