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zu b) Reihendarstellung
$$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(\pink1+x^2)\pink{-1}}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1-(-x^2)}$$Erinnere dich nun an den Grenzwert der geometrischen Reihe$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$dann findest du mit \((q=-x^2)\) die gesuchte Reihendarstellung:$$f(x)=1-\sum\limits_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\underbrace{1-(-x^2)^0}_{=0}-\sum\limits_{n=1}^\infty(-x^2)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}x^{2n}$$
Da wir die geometrische Reihe verwendet haben, musste \(|q|<1\) bzw. \(x^2<1\) gelten.
Die Reihendarstellung konvergiert daher für \(x\in(-1;1)\).
zu c) Ableitungen
Für \(f^{(50)}(0)\) ist aus der Summendarstellung nur der Term \((-1)^{26}x^{50}\) relevant. Alle Terme vorher verschwinden beim Ableiten, alle Terme dahinter werden zu Null, da sie ein \(x\) als Faktor enthalten und \((x=0)\) zu nehmen ist. Daher ist$$f^{(50)}(0)=50!\quad\text{(in Worten: 50 Fakultät)}$$
Für \(f^{51}(0)\) ist kein Term aus der Summendarstellung relevant, da es nur \(x\) mit geraden Exponenten gibt:$$f^{(51)}(0)=0$$
