LGS mit Additionsverfahren lösen

Question

Aufgabe:

Additionsverfahren (bitte Schritt für Schritt verständlich)

-1a + 1b -1c + 1d = 3
3a - 2b + 1 c = 1
8a + 4b + 2c + 1d = 15
12a + 4b + 1c = 25

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

-1a + 1b -1c + 1d = 3 (1)

3a - 2b + 1 c = 1 (2)

8a + 4b + 2c + 1d = 15 (3)

12a + 4b + 1c = 25 (4)

eliminiere eine Variable nach der anderen.

Zuerst d, da es nur in zwei Gleichungen vorkommt.

(3)-(1) → 9a+3b+3c=12

Durch 3 dividieren:

3a +1 b+ 1c=4 (5)

3a - 2b + 1 c = 1 (2)

12a + 4b + 1c = 25 (4)

Nun hast du 3 Gleichungen mit 3 Variablen.

Eliminiere nun c.

(5)-(2)  3b=3 → b=1

(4)-(5) 9a +3b=21 → 9a=18 -> a=2

a,b in (5): 3*2+1+c=4 → c=-3

8a + 4b + 2c + 1d = 15

16+4-6+d=15 → d=1

a=2; b=1; c=-3; d=1

Zur Sicherheit noch die Probe machen...

:-)

Answer 2

I+II: c fällt weg

I-III: d fällt weg

III-IV: b fällt weg

12*I+IV: a und c fällt weg

Comments

So machen das viele Schülerinnen und Schüler und kommen nicht weiter.

Nach I+II ist c ja noch in den anderen beiden Gleichungen vorhanden.

Es ist gerade für weniger Begabte sinnvoller, systematisch vorzugehen.

Answer 3

1. Erste Gleichung verwenden um in den anderen drei Gleichungen die Variable a zu eliminieren:

   • Dreifaches der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung addieren.
     
   • Achtfaches der ersten Gleichung zur dritten Gleichung addieren.
   • Zwölfaches der ersten Gleichung zur vierten Gleichung addieren.
     
   • Erste Gleichung aus dem Gleichungssystem entfernen
2. Erste Gleichung verwenden um in den anderen zwei Gleichungen die Variable b zu eliminieren

   Erste Gleichung aus dem Gleichungssystem entfernen.

3. Und so weiter bis du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hast. Diese Gleichung lösen.
4. Lösung in die entfernten Gleichungen einsetzen. Dadurch entstehen weitere Gleichungen mit nur einer Variablen. Lösen und Einsetzen und so weiter bis du Werte für alle Variablen hast.

Answer 4

- a + b - c + d = 3
3·a - 2·b + c = 1
8·a + 4·b + 2·c + d = 15
12·a + 4·b + c = 25

II ; III - I ; IV

3·a - 2·b + c = 1
9·a + 3·b + 3·c = 12 → 3·a + b + c = 4
12·a + 4·b + c = 25

II - I ; III - I

3·b = 3 --> b = 1
9·a + 6·b = 24

Nun einsetzen

9·a + 6·1 = 24 --> a = 2

3·2 - 2·1 + c = 1 --> c = -3

- 2 + 1 - (-3) + d = 3 --> d = 1