Aufgabe
(i) Zeigen Sie nur mit Definition 16.2.1, dass die Funktion \( f:[0, \infty) \rightarrow \) \( \mathbb{R}, x \mapsto x^{\frac{3}{2}} \), in jedem beliebigen Punkt \( x_{0} \in(0, \infty) \) differenzierbar ist. Ist \( f \) in 0 rechtsseitig differenzierbar?
(ii) Betrachten Sie die Funktion \( g:(-\infty, 2) \rightarrow \mathbb{R} \),
\( g(x):=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für }-\infty<x \leq 0, \\ x^{2} & \text { für } 0<x \leq 1, \\ \sqrt{1-(x-1)^{2}} & \text { für } 1<x<2, \end{array}\right. \)
und untersuchen Sie, in welchen Punkten \( x_{0} \in(-\infty, 2) \) die Funktion \( g \) differenzierbar ist.
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Definition 16.2.1. Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall, sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) und sei \( x_{0} \in I \).
(i) Für \( x \in I \backslash\left\{x_{0}\right\} \) heißt
\( \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)
der Differenzenquotient von \( f \) in \( x_{0} \) und \( x \).
(ii) Wir sagen, dass \( f \) in \( x_{0} \) differenzierbar ist, wenn der Grenzwert
\( \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ x \neq x_{0}}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)
in \( \mathrm{R} \) existiert. Man schreibt dann
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \)
für diesen Grenzwert und nennt \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \) die Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_{0} \). Wenn \( f \) in jedem Punkt von \( I \) differenzierbar ist, so nennt man \( f \) differenzierbar in \( I \). In diesem Fall bezeichnen wir die Funktion \( f^{\prime}: I \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f^{\prime}(x) \), als Ableitungsfunktion.
