Zeige, dass F: [0, 1] → ℝ differenzierbar ist und F'(x) = \int_{0}^{1} \partial_x f(x, y) \, dy für alle x ∈ [0, 1] .

Question

Angenommen, \( f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) ist eine Funktion, die stetig ist und bezüglich der ersten Koordinate \( x \) für alle \( y \in \mathbb{R} \) partiell differenzierbar ist. Weiterhin sei \( \partial_x f: [0, 1]^2 \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, und sei \( F(x) := \int_{0}^{1} f(x, y) \, dy \) für alle \( x \in [0, 1] \). Zeige, dass \( F: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist und \( F'(x) = \int_{0}^{1} \partial_x f(x, y) \, dy \) für alle \( x \in [0, 1] \).

Hinweis: Der Mittelwertsatz könnte nützlich sein. Außerdem darfst du ohne Beweis verwenden, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig sind. Das bedeutet, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, sodass für alle \( (x, y), (\tilde{x}, \tilde{y}) \in [0, 1]^2 \) mit \( \| (x, y) - (\tilde{x}, \tilde{y}) \| < \delta \) gilt:
\[ | \partial_x f(x, y) - \partial_x f(\tilde{x}, \tilde{y}) | < \epsilon \].

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen!

Ich stehe vor einer ziemlich kniffligen Aufgabe und könnte etwas Hilfe gebrauchen. Ich habe versucht, den Mittelwertsatz zu nutzen, um einen Zusammenhang mit Integralen herzustellen. Meine Idee war, dass

x ein beliebiger Punkt in unserem Intervall
[
0
,
1
]
[0,1] sein kann. Dann sollte es ein

ϵ-Intervall zwischen

x und

~
x
~
geben, in dem der Mittelwertsatz gilt.

Aber irgendwie habe ich dabei den Faden verloren und komme nicht weiter. Ich vermute, ich habe einen Schritt übersehen oder etwas durcheinandergebracht. Es wäre wirklich super, wenn jemand mit frischen Augen drübersehen könnte und mir ein paar Tipps geben könnte, wie ich meine Herangehensweise verbessern kann.

Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe!

Answer 1

Wir überprüfen eine Variante der Definition der Ableitung. Sei \(x \in (0,1)\) und h "absolut klein":

$$F(x+h)-F(x)-F'(x)h=\int_0^1 (f(x+h,y)-f(x,y)-\partial_xf(x,y)h)\; dx\\\quad =\int_0^1 ((\partial_xf(x+sh,y)-\partial_xf(x,y))h)\; dx$$

Dabei ist \(s=s(x,x+h,y)\in (0,1)\) durch den MWS bestimmt.Wenn jetzt ein \(\epsilon>0\) gegeben ist, können wir aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit der partiellen Ableitung von f ein \(\delta>0\) finden, so dass für \(|h| < \delta\) und alle \(x,y \in [0,1]\) gilt

$$|\partial_xf(x+sh,y)-\partial_xf(x,y))| < \epsilon$$

Für diese h gitl dann

$$|F(x+h)-F(x)-F'(x)h| < \epsilon \cdot h$$

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