Aufgabe:
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Aufgabe 3 (5 Punkte)
Sei
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0) . \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass für alle \( y \in \mathbb{R} \) die Ausdrücke
\( \varphi(y)=\int \limits_{0}^{1} f(x, y) d x \quad \text { und } \varphi^{*}(y)=\int \limits_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) d x \)
definiert sind und dass die Funktion \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist, jedoch \( \varphi^{\prime}(0) \neq \varphi^{*}(0) \)
