Hallo,
hier ist das Ergebnis: Aber ich bräuchte eine Erklärung.
Nehmen wir mal kurz an, die projektive Ebene wäre über dem Körper \(\mathbb{R}\) definiert - also \(P,Q\in \mathbb{P}^2(\mathbb{R})\). Dann sähe das im Bild so aus:
Die projektive Ebene ist die Ebene parallel zur XY-Ebene bei \(z=1\). Jeder Punkt der Ebene ist gegeben durch den Schnittpunkt einer Ursprungsgerade mit eben dieser Ebene. Für den Punkt \(Q\) habe ich den (blauen) Vektor der Ursprungsgeraden eingezeichnet und den Schnittpunkt \(Q\) gekennzeichnet. Die Ursprungsgerade von \(P\) (hellblauer Pfeil) verläuft parallel (bzw. in) zur XY-Ebene und es gibt keinen Schnittpunkt. Daher liegt der Punkt \(P\) im unendlichen.
Das bedeutet aber auch, dass jede Gerade 'durch' \(P\) parallel zur Ursprungsgerade von \(P\) verlaufen muss. Also ist die gesuchte Gerade die Gerade durch \(Q\), die parallel zur Ursprungsgerade von \(P\) verläuft. Ich habe diese Gerade rot eingezeichnet. Klicke auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D, und Du kannst die Szene rotieren für einen besseren dreidimensionalen Eindruck.
Sowie jeder Punkt durch seine Ursprungsgerade gegeben ist, so ist jede Gerade durch eine Ursprungsebene gegeben. Der roten Geraden kann eindeutig die grüne Ursprungsebene zugeordnet werden. Und natürlich müssen beide Ursprungsgeraden (die von \(P\) und \(Q\)) innerhalb dieser Ebene liegen. Da der Normalenvektor \(n_{g(P,Q)}\) (rot) dieser Ebene auf beiden Ursprungsgeraden von \(P\) und \(Q\) senkrecht steht, ist dieser schlicht das Kreuzprodukt der beiden 'Punkte':$$n_{g(P,Q)} = P\times Q = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}$$Da wir uns aber im \(\mathbb{P}(\mathbb{F}_3)\) befinden und $$-1\equiv 2 \mod 3$$ist, ist der Normalenvektor \(n_{g(P,Q)}\) und somit die Gerade \(g_{P,Q}\):$$n_{g(P,Q)}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \implies g_{P,Q}:\space x+2z+1=0$$
Der Lösungsweg, der in Deiner Lösung beschritten wurde, sieht so aus:
Eine Gerade der projektiven Ebene hat allgemein die Form$$g:\quad ax+by+cz = 0$$und die Parameter a, b und c müssen so gewählt werden, dass die Punkte \(P\) und \(Q\) dort enthalten sind. Einsetzen liefert:$$\begin{aligned} a\cdot 1 + b\cdot 1 + c \cdot 0&= 0 \\ a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 1 &= 0\end{aligned}$$Oben steht \(a+b=0\). Zieht man die erste von der zweiten ab, bleibt \(b+c=0\). Man kann nun getrost \(c=1\) setzen, worauf dann sofort \(a=1\) und \(b=-1\equiv 2\) folgt, also das bekannte Ergebnis. Bei der oben beschriebenen Lösung hat man es sich noch zunutze gemacht, dass es für jeden Parameter nur drei Möglichkeiten gibt: \(\{0,1,2\} = \mathbb{F}_3\). Wegen \(a+b=0\) scheidet \(a=0\) sofort aus (warum?). Beibt \(a=1\) und \(a=2\), was aber in beiden Fällen zur identischen Lösung führt. Multipliziere die zweite Lösung \(2x+y+2z=0\) mit \(2\) (in \(\mathbb{F}_3\)) und Du erhältst die erste Lösung. Hinweis$$ 2\cdot 2 \equiv 1 \mod 3$$
Gruß Werner