Lineare Abbildungen zwischen IR-Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Es sei f ∶ V → W eine lineare Abbildung zwischen R-Vektorräumen V und W. Seien
weiterhin v1,v2, . . . , vk ∈ V .
(a) Zeigen Sie: Wenn die Familie (f(v1), f(v2), . . . , f(vk)) linear unabhängig ist, dann
ist auch die Familie (v1,v2, . . . , vk) linear unabhängig.
(b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (a) falsch ist. Genauer:
Finden Sie eine lineare Abbildung f ∶ V → W und Vektoren v1,v2, . . . , vk ∈ V ,
sodass (v1,v2, . . . , vk) linear unabhängig ist und (f(v1), f(v2), . . . , f(vk)) linear
abhängig ist. Zeigen Sie dabei die Richtigkeit Ihres Beispiels.

Problem/Ansatz:

Ich suche einen Ansatz.

Answer 1

Zu (a):

man zeige die Kontraposition, d.i.

\(c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\) mit \(c_i\neq 0\) für ein \(i \in \{1,\cdots,k\}\Rightarrow\)

\(0=f(0)=f(c_1v_1+\cdots +c_kv_k)=c_1f(v_1)+\cdots+c_kf(v_k)=0\)

mit nicht sämtlich verschwindenden \(c_i\),

also \(f(v_1),\cdots,f(v_k)\) linear abhänggig.

Zu (b):

Sei \(W=\mathbb{R},\; V=\mathbb{R}^2\) mit Standardbasis \(e_1,e_2\) und

sei \(f\) die Nullabbildung: \(f(e_1)=f(e_2)=0\).

Comments

Hallo ermanus,
ich habe einen etwas anderen ansatz, aber finde deinen sehr interessant. Magst du vielleicht a) noch ein wenig ausführen?

---

Hallo, meinst du (a) oder (b) ?