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Aufgabe:

Geben Sie auf (R, B) ein sigmaendliches Maß an, das nicht von oben regulär ist, und ein von oben reguläres Maß, das nicht sigmaendlich ist.

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Hallo,

ein Beispiel für den zweiten Fall wäre \( \mu(\emptyset) = 0 \) und \( \mu(A) = +\infty \,\, \forall A \in B(\mathbb{R}),  A \neq \emptyset \).

Es ist von außen regulär, da für \( \emptyset\neq A\in B(\mathbb{R})\) gilt \( \inf\lbrace{\mu(U)  : A\subset U,  U \text{ offen}\rbrace} = +\infty \) und \(0 \leq \inf\lbrace{\mu(U)  :  \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} \leq \mu(\emptyset) = 0\), also \(\inf\lbrace{\mu(U)  : \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} = 0 \)

\( \mu\) ist offensichtlich nicht \(\sigma\)-endlich.

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Danke sehr. Hättest du vielleicht auch eine Idee für den 1. Fall?

Da fällt mir spontan leider keins ein.

Hätte jetzt was gefunden.

Sei c das Zählmaß auf der Borelschen Sigma-Algebra von R. Sei h(A)=c(A ∩ Q), wobei Q die rationalen Zahlen sind. h ist sigmaendlich , da die abzählbare Partition {q} für q in Q und R\Q eine abzählbare Partition von borelschen Mrt. Dennoch ist h(Offen) für jede nichtleere offene Menge unendlichengen endlichen Maßes liefert.

Stimmt das?

da die abzählbare Partition {q} für q in Q und R\Q eine abzählbare Partition von borelschen Mrt

Bitte was?

h(Offen) für jede nichtleere offene Menge unendlichengen endlichen Maßes liefert

Was soll das bedeuten?

Auf Englisch soll es bedeuten:

Note that h is sigma finite since the countable partition given by {q} for q in Q and R\Q provides a countable partition of finite measure borel sets. Yet h(Open) is infinity for any nonempty Open set ... thus we cannot approximate h({1})=1 arbitrarily closely from above with open sets in this case

Woher stammt der Text, ich verstehe ihn immer noch nicht. Was soll denn

the countable partition given by {q} for q in Q and R\Q

sein?

Ist das nicht die disjunkte Vereinigung von rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen. Und Q ist ja abzählbar unendlich.

Gemeint sein könnte, dass \( \mathbb{R} = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C)\). Das zeigt tatsächlich das \(h\) \(\sigma\)-endlich ist, da \(h(\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C) = c((\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C) \cap \mathbb{Q}) = c(\lbrace{q\rbrace}) = 1 < \infty \).

Wenn du dir jetzt noch klar machst, warum \(h\) nicht von außen regulär ist, sollte das Beispiel passen.

Wenn ich h(A) nehmen und A offen ist. Dann ist h(A)= unendlich und somit ist h nicht von oben regulär

Ja, das sollte so passen.

Genauer ist etwa für \(A= \lbrace{1\rbrace}\in B(\mathbb{R})\)

\( \inf\lbrace{h(U): A \subset U, U \text{offen}\rbrace} = \inf\lbrace{\infty\rbrace} = \infty \neq 1 = h(A)\)

Perfekt, vielen Dank für die Hilfe

Kann mir jemand die Darstellung von den Reellen Zahlen bei dem zweiten Beispiel erklären? Ich versteh nicht ganz was das Kompliment von den Ratonalenzahlen sein soll.

das Komplement der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen sind die irrationalen Zahlen und du hast

\(\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} (\lbrace{q\rbrace} \cup \mathbb{Q}^C) = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \lbrace{q\rbrace} \cup \mathbb{Q}^C = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^C = \mathbb{R} \)

Achso vielen Dank.

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