Hallo,
ein Beispiel für den zweiten Fall wäre \( \mu(\emptyset) = 0 \) und \( \mu(A) = +\infty \,\, \forall A \in B(\mathbb{R}), A \neq \emptyset \).
Es ist von außen regulär, da für \( \emptyset\neq A\in B(\mathbb{R})\) gilt \( \inf\lbrace{\mu(U) : A\subset U, U \text{ offen}\rbrace} = +\infty \) und \(0 \leq \inf\lbrace{\mu(U) : \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} \leq \mu(\emptyset) = 0\), also \(\inf\lbrace{\mu(U) : \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} = 0 \)
\( \mu\) ist offensichtlich nicht \(\sigma\)-endlich.