reguläres Maß und sigmaendliches Maß

Question

Aufgabe:

Geben Sie auf (R, B) ein sigmaendliches Maß an, das nicht von oben regulär ist, und ein von oben reguläres Maß, das nicht sigmaendlich ist.

Answer 1

Hallo,

ein Beispiel für den zweiten Fall wäre \( \mu(\emptyset) = 0 \) und \( \mu(A) = +\infty \,\, \forall A \in B(\mathbb{R}),  A \neq \emptyset \).

Es ist von außen regulär, da für \( \emptyset\neq A\in B(\mathbb{R})\) gilt \( \inf\lbrace{\mu(U)  : A\subset U,  U \text{ offen}\rbrace} = +\infty \) und \(0 \leq \inf\lbrace{\mu(U)  :  \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} \leq \mu(\emptyset) = 0\), also \(\inf\lbrace{\mu(U)  : \emptyset \subset U, U \text{ offen}\rbrace} = 0 \)

\( \mu\) ist offensichtlich nicht \(\sigma\)-endlich.

Comments

Danke sehr. Hättest du vielleicht auch eine Idee für den 1. Fall?

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Da fällt mir spontan leider keins ein.

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Hätte jetzt was gefunden.

Sei c das Zählmaß auf der Borelschen Sigma-Algebra von R. Sei h(A)=c(A ∩ Q), wobei Q die rationalen Zahlen sind. h ist sigmaendlich , da die abzählbare Partition {q} für q in Q und R\Q eine abzählbare Partition von borelschen Mrt. Dennoch ist h(Offen) für jede nichtleere offene Menge unendlichengen endlichen Maßes liefert.

Stimmt das?

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da die abzählbare Partition {q} für q in Q und R\Q eine abzählbare Partition von borelschen Mrt

Bitte was?

h(Offen) für jede nichtleere offene Menge unendlichengen endlichen Maßes liefert

Was soll das bedeuten?

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Auf Englisch soll es bedeuten:

Note that h is sigma finite since the countable partition given by {q} for q in Q and R\Q provides a countable partition of finite measure borel sets. Yet h(Open) is infinity for any nonempty Open set ... thus we cannot approximate h({1})=1 arbitrarily closely from above with open sets in this case

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Woher stammt der Text, ich verstehe ihn immer noch nicht. Was soll denn

the countable partition given by {q} for q in Q and R\Q

sein?

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Ist das nicht die disjunkte Vereinigung von rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen. Und Q ist ja abzählbar unendlich.

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Gemeint sein könnte, dass \( \mathbb{R} = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C)\). Das zeigt tatsächlich das \(h\) \(\sigma\)-endlich ist, da \(h(\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C) = c((\lbrace{q\rbrace}\cup \mathbb{Q}^C) \cap \mathbb{Q}) = c(\lbrace{q\rbrace}) = 1 < \infty \).

Wenn du dir jetzt noch klar machst, warum \(h\) nicht von außen regulär ist, sollte das Beispiel passen.

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Wenn ich h(A) nehmen und A offen ist. Dann ist h(A)= unendlich und somit ist h nicht von oben regulär

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Ja, das sollte so passen.

Genauer ist etwa für \(A= \lbrace{1\rbrace}\in B(\mathbb{R})\)

\( \inf\lbrace{h(U): A \subset U, U \text{offen}\rbrace} = \inf\lbrace{\infty\rbrace} = \infty \neq 1 = h(A)\)

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Perfekt, vielen Dank für die Hilfe

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Kann mir jemand die Darstellung von den Reellen Zahlen bei dem zweiten Beispiel erklären? Ich versteh nicht ganz was das Kompliment von den Ratonalenzahlen sein soll.

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das Komplement der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen sind die irrationalen Zahlen und du hast

\(\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} (\lbrace{q\rbrace} \cup \mathbb{Q}^C) = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \lbrace{q\rbrace} \cup \mathbb{Q}^C = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^C = \mathbb{R} \)

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Achso vielen Dank.