Question

Nullstellenberechnung trigonometrische Gleichung

Hallo Zusammen,

ich stehe vor der Frage, wann ich +pi*k und wann +2pi*k hinzufüge.

Ist dies bei Sinus, Cosinus, Tangens, Arcsin, Arccos und Arctan immer gleichbleibend ?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße
Leon

Answer 1

ich stehe vor der Frage, wann ich +pi*k und wann +2pi*k hinzufüge.

Es geht um die Periode:

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sind beide periodisch. Sie haben die Periode p = 2π. Verschiebst du sie um 2π nach links oder nach rechts, sehen sie wieder genauso aus wie davor. Du kannst sie deshalb auch verschiebungssymmetrisch nennen.

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Antwort.
Vielleicht kannst du mir ja noch ein Stück weiterhelfen.

Ich hätte eine Beispielaufgaben:

Ich habe die Aufgabe: sin(4x) = 0 . Das Ergebniss lautet: (pi*k)/4 
Wieso wurde hier also nur +pi*k und nicht +2pi*k hinzugefügt ?

Rechenweg:
sin(4x)=0
4x=pi*k /4
x=(pi*k)/4 

desweiteren:

wieso wird bei der folgenden Aufgabe 2pi*k hinzugefügt:

1+cos(3*x)=0
cos(3+x)=-1
3x=0+2*pi*k
x=(2/3)*2pi*k

Für mich ist es nicht schlüssig, wann was verwendet werden muss.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

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sin(4x) =0

Der sin ist 0 bei 0°, 180°, 360°

-> x= k*pi mit k ∈ℤ

cos(3x) = -1

Der cos ist -1 bei 180° = pi+k*2pi

3x= pi

x= pi/3 + k*2pi

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Verstehe leider irgendwie immernoch nicht, wann ich jetzt welchen Wert hinzufüge und durch was meine Entscheidung ausgelöst wird.

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https://studyflix.de/mathematik/einheitskreis-2061

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Ich warne vor der Benutzung von irgendwelchen Spezialfällen wie

sin(ax) = 0 ; 1 ; -1

oder

cos(ax) = 0 ; 1 ; -1

Es sind evtl. auch Aufgaben zu lösen wie

a*SIN(b*(x + c)) = d

a*COS(b*(x + c)) = d

Ein guter Schüler sollte daher am besten auch solche allgemeinen Funktionen auflösen können.

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cos(3x) = -1
3x= pi
x= pi/3 + k*2pi

x= pi/3 + k * 2/3 * pi

bei sin(4x) analog

Answer 2

Folgende Gleichungen

SIN(4·x) = 0
1 + COS(3·x) = 0

sind recht primitive Gleichungen, die nur nach Nullstellen und Extrempunkten fragen.

Dazu braucht man einfach nur die Nullstellen bzw. die Hoch- oder Tiefpunkte der Trigonometrischen Funktionen kennen

SIN(x)
Nullstellen bei x = k·pi
Hochpunkte bei x = pi/2 + k·2·pi
Tiefpunkte bei x = 3/2·pi + k·2·pi

COS(x)
Nullstellen bei x = pi/2 + k·pi
Hochpunkte bei x = k·2·pi
Tiefpunkte bei x = pi + k·2·pi

Nullstellen liegen hier immer eine halbe Periode versetzt. Hoch- bzw. Tiefpunkte liegen jeweils eine komplette Periode voneinander entfernt.

SIN(4·x) = 0
4·x = k·pi
x = k·pi/4

1 + COS(3·x) = 0
COS(3·x) = -1
3·x = pi + k·2·pi
x = pi/3 + k·2/3·pi