Wie lautet die z-Koordinate? Volumen Prisma

Question

Aufgabe:

Die drei Punkte A(0/1/2), B(-4/2/0) und C(1/1/1) bilden die Grundfläche eines Prismas ABCDEF. Ferner weiss man, dass D(2/-1/z) (z>0) oberhalb von A liegt, sodass das Prosma ein Volumen von 4 hat. Wie lautet die z-Koordinate?

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass ((AB × AC) * AD)/2 = 4 geben muss, aber irgendwie komme ich nicht auf die richtige Lösung. Also AB×AC= -1/6/-1

AD = 2/-2/z-2

Answer 1

V = 1/2·|(AB ⨯ AC)·AD|

= 1/2·|([-4, 1, -2] ⨯ [1, 0, -1])·[2, -2, z - 2]|

= 1/2·|[-1, -6, -1]·[2, -2, z - 2]|

= 1/2·|12 - z|

= |6 - z/2| = 4 → z = 4 oder z = 20

Answer 2

((AB × AC) * AD)/2 = 4

<=> (AB × AC) * AD = 8

<=> (-1/-6/-1)^T * (2/-2/z-2)^T = 8

<=> -2   +  12   -z+2    = 8

<=>              -z   = - 4

<=>     z=4

Comments

Danke für deine Antwort. Ich verstehe aber nicht wieso 6*-2= 12 ergibt sollte doch -12 sein oder nicht? 4 ist aber die richtige Antwort.

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Da hast du recht. Hab das fehlende minus übersehen.

Es ist doch AB×AC= -1/-6/-1 und deine

Werte kopiert.

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Ihr solltet nicht so tun als sei das die einzige Lösung.

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Ihr solltet nicht so tun als sei das die einzige Lösung.

Danke für den Hinweis. Die Aufgabe: "Wie lautet die z-Koordinate?" ist schlampig gestellt, weil es nicht DIE z-Koordinate gibt.

Daher hatte ich die zweite Lösung nach der ersten gar nicht mehr geprüft. Da kommt allerdings auch z = 20 > 0 heraus, ist also tatsächlich auch eine Lösung.

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Die war übersichtlicher und weil beide Lösungen richtig waren, dachte ich dass auch beide Lösungswege gleich sind.

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Ach so ist das gemeint, alles klar.

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Die war übersichtlicher und weil beide Lösungen richtig waren, dachte ich dass auch beide Lösungswege gleich sind.

Eigentlich muss man beim Spat-Produkt den Betrag betrachten. Normalerweise schreibe ich das ohne Beträge auf und würde dann das Volumen gleich ±4 setzen. Da allerdings gleich bei +4 eine Lösung herausgekommen ist hatte ich -4 gar nicht mehr geprüft. Das war hier ein Fehler. Aber ich habe meine Lösung oben korrigiert und mit Beträgen notiert.