Ebenenschar Parallelität prüfen

Question

Aufgabe:

E_a :   (1-2a)x + (2a-1)y + (1-2a)z = 1

E_b :   (1-2b)x + (2b-1)y + (1-2b)z = 1

Problem/Ansatz:

Wie löst man das gleichungssystem bzw. Überprüft ob die ebenenschar parallel ist

Answer 1

Überprüft ob die Ebenenschar parallel ist

ergibt keinen Sinn, denn es sind zwei Ebenenscharen.

Die beiden Ebenenscharen in Normalenform:

\( \begin{pmatrix} 1-2a\\2a-1\\1-2a \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=1

\( \begin{pmatrix} 1-2b\\2b-1\\1-2b \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=1

Mit dem Faktor k=\( \frac{1-2b}{1-2a} \) sind die Normalenvektoren parallel.

Answer 2

Zwei Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind.

$$r \cdot \begin{pmatrix} 1 - 2a\\2a - 1\\1 - 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2b\\2b - 1\\1 - 2b \end{pmatrix} \newline r = \frac{1 - 2b}{1 - 2a}$$

Damit sind zwei verschiedene Ebenen der Ebenenschar zueinander parallel.

Man hätte auch einfach durch (1 - 2a) teilen können

$$E_a: (1-2a)x + (2a - 1)y + (1 - 2a)z = 1 \newline E_a: x - y + z = \frac{1}{1 - 2a}$$

Hier sieht man direkt ohne Umwege, das alle Ebenen der Schar zueinander Parallel liegen. Alle Ebenen haben den Normalenvektor (1, -1, 1)^T.