Zeigen Sie, dass für f, g ∈ \mathcal{C}^{∞}(I)

Question

Aufgabe gilt:
(i) Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall. Zeigen Sie, dass für \( f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(I) \)
\( \begin{array}{l} (f g)^{\prime \prime}=f^{\prime \prime} g+2 f^{\prime} g^{\prime}+f g^{\prime \prime} \text { und } \\ (f g)^{\prime \prime \prime}=f^{\prime \prime \prime} g+3 f^{\prime \prime} g^{\prime}+3 f^{\prime} g^{\prime \prime}+f g^{\prime \prime \prime} \end{array} \)
Finden Sie (ohne Beweis) eine allgemeine Formel für \( (f g)^{(m)} \) mit \( m \in \mathbb{N} \).
(ii) Bestimmen Sie für \( f \in C^{2}(\mathbb{R}) \) die 2. Ableitung von \( g:=\cos f \).
(iii) Erinnerung: Eine Funktion \( f \) heißt gerade, wenn \( f(-x)=f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt, und \( f \) heißt ungerade, falls \( f(-x)=-f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Wir betrachten eine differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Zeigen Sie die beiden Implikationen
\( \begin{array}{l} f \text { gerade } \Longrightarrow f^{\prime} \text { ungerade, } \\ f \text { ungerade } \Longrightarrow f^{\prime} \text { gerade. } \end{array} \)

Answer 1

Oswald hat eigentlich alle nötigen Infos gegeben. Ein bisschen Eigeninitiative kann man schon erwarten, da das hier vergleichbar mit rechen Aufgaben ist. Bei der i) verwendest du einfach nur die Produktregel für Ableitungen

i) (fg)' = f' * g + f *g'

(fg)''= f'' * g + f' * g' + f* g'' + f' * g' = f'' * g + 2 f' g' + f * g''

(fg)''' machst du selber mit der Produktregel

Und die Allgemeingültige Formel sind einfach nur die Binomischen Formel, wie Oswald auch korrekter gesagt hat, der Binomische Lehrsatz.

ii) cos(f(x))' = -sin(f(x))*f(x)'

(-sin(f(x))*f(x)')' = -f(x)'' * sin(f(x)) - cos(f(x))*2*f(x)'

iii) f(x)=f(-x) jede seite ableiten -> f(x)= -f(-x) Bedingung für ungerade daher Implikation gezeigt

f(-x)=-f(x) -> -f(-x)=-f(x) <=> f(-x)=f(x) Bedingung für gerade

Comments

bei der iii) ist es f(x)'=-f(-x)' und f(-x)'=f(x)' da hab ich vergessen die ableitungsstriche hinzuschreiben!

Answer 2

(i) \(fg\) mit Produktregel ableiten. Die Ableitung erneut ableiten, dann hast du (fg)''. Noch ein mal ableiten, dann hast du (fg)'''. Schau dir auch mal den binomischen Lehrsatz an.

(ii) Leite \(\cos f\) mit der Kettenregel.

(iii) Leite \(f(-x)\) mit der Kettenregel ab.

Comments

ich hab immer noch nicht verstanden ;(