Berechnen Sie die Richtungsableitung der folgenden Funktion an der Stelle (1;2) in die bestimmte Richtung.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 7 (Richtungsableitung) Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion
$f(x ; y)=x^{3}-x^{2} y-2 y^{2}$
an der Stelle $(1 ; 2)$ in die Richtung, die mit der $x$-Achse einen positiven Winkel von $60^{\circ}$ bildet.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

Richtungsvektoren haben immer die Länge $1$. Wenn der Richtungsvketor vom Ursprung aus in Richtung $60^\circ$ Grad zur $x$-Achse zeigt, ist die Projektion dieses Vektors auf die x-Achse gleich $\cos60^\circ$ und auf die y-Achse $\sin60^\circ$. Daher lautet der Richtungsvektor:$$\vec v=\binom{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ}=\binom{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}$$

Nun brauchen wir noch den Gradienten der Funktion $f$ an der Stelle $(1;2)$:$$\operatorname{grad}f(1;2)=\binom{3x^2-2xy}{-x^2-4y}_{(x;y)=(1;2)}=\binom{-1}{-9}$$

Die gesuchte Richtungsableitung ist Produkt aus Gradient und Richtungsvektor:$$D_{\vec v}f(1;2)=\binom{-1}{-9}\cdot\binom{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac12-\frac92\sqrt3=-\frac{1+9\sqrt3}{2}\approx-8,2942\ldots$$

Comments

Hallo,

Der Gradient ergibt doch (-1;-7) oder nicht?

Ich glaube dich hast einen Rechenfehler.

VielenDank im Voraus.

Sevi

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Nein, der Gradient ist schon richtig, denn:$$-x^2-4y=-1^2-4\cdot2=-1-8=-9$$

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Aber −1 ins Quadrat ergibt 1, alles im Quadrat wird positiv.

Viele Grüße

Sevi

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Der Punkt ist aber doch $(x;y)=(1;2)$. Wie kommst du auf $(x=-1)$ ?

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@Sevim2013

Beachte das oben steht

- x² - 4·y = - 1² - 4·2

und es gilt

- 1² = -1

das ist etwas anderes wie

(- 1)² = 1

Answer 2

Hallo

den Einheitsvektor   v in 60° Richtung   kannst du hoffentlich bestimmen, zeichnen hilft. dann grad(f)*v

Gruß lul

Answer 3

f'(1, 2)·[COS(60°), SIN(60°)] = [-1, -9]·[1/2, √3/2] = - 9/2·√3 - 1/2 = -8.294