Ableitung von f(x,y)=4(x^2+y^2) in Richtung des Vektors

Question

Gegeben ist die Funktion

f(x,y)=4(x^2+y^2)

Berechnen Sie an der Stelle (1,2) die Ableitung mr in Richtung des Vektors

r=(-24,32)

Die richtige Antwort lautet 8.

Ich bin wie folgt vorgegangen

fx´(x,y)= 8x mit x=1       =8

fy´(x,y)= 8y mit y=2      = 16

nun habe ich den Gradient (8,16), weitergerechnet habe ich mit der Formel der Richtungsableitung

mr= Gradient * r            allerdings kommt hier nur Stuss raus ...

Könnte mir hier jemand behilflich sein?

Answer 1

Vermutlich hast du das Normieren vergessen:

gradient ist  (8;16)

r=(-24,32) also |r| = 40 und damit

r_normiert = ( -0,6 ; 0,8) also

mr= Gradient * r_normiert =  - 4,8 +  12,8 = 8

Comments

Wie kommst du denn auf den Betrag von r = 40 ?

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ich bekomme durch |r|=sqrt(-24,32)² =24,32
wenn ich dann 1/|r| * r    rechne komme ich auf -1
dann zusammenfügen → 8*-1  +  16*-1  = -24           aber kann ja nicht stimmen... 
könntest du mir deinen weg nochmal ausführlicher aufschreiben ?

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|r|=sqrt(-24,32)² =24,32

  Ich rechne so:

sqrt(-24,32)² = sqrt(  (-24)^2 + 32^2  )

= sqrt(  576 + 1024 )= sqrt( 1600 ) = 40

1 / |r| =  1 / 40 * (-24,32) = ( -0,6 ; 0,8).