Konvergenz einer Folge gegen Nullstelle eines Polynoms zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei x₀=2 und x = \( \sqrt{3+2\sqrt{x_n-1}} \) für n∈ℕ. Man soll nun zeigen, dass die Folge gegen die einzige Nullstelle x* des Polynoms x⁴-6x²-4x+9 in [\( \sqrt{3} \), ∞) konvergiert und eine Abschätzung für |x_n-x*| angeben.

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt schon gezeigt, dass die Folge überhaupt konvergiert ( da sie monoton steigend und nach oben beschränkt ist.). Leider komme ich jetzt nicht weiter, wie man zeigen kann, dass der Grenzwert genau x* ist…

Answer 1

Es gilt \(\lim x_n = \lim x_{n-1} = x^*\). Wegen der Stetigkeit

der Wurzelfunktion liefert das Folgenkriterium der Stetigkeit

\(x^*=\lim x_n=\sqrt{\lim (3+2\sqrt{x_{n-1}})}=\sqrt{3+2\sqrt{x^*}}\).

Hiermit solltest du weiterkommen.