Formuliere eine Matrix die den Übergang von x^n zu x^n+1 zeigt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 Ein Fahrradverleih habe drei Stationen \( S_{1}, S_{2} \) und \( S_{3} \). An jeder Station können Fahrräder der drei Stationen zurückgegeben werden. Vereinfachend betrachten wir die Situation, dass die Fahrräder jeweils nur einen Tag geliehen werden. Der Fahrradverleih beobachtet das Rückgabeverhalten seiner Kund:innen über einen langen Zeitraum und stellt fest, dass nach Ende der Öffnungszeit an der ersten Station \( 60 \% \) der Fahrräder aus dieser Station stammen, \( 30 \% \) an Station \( S_{2} \) abgegeben werden und die restlichen \( 10 \% \) an der Station \( S_{3} \) stehen. Für Station \( S_{2} \) ergibt sich folgendes Rückgabeverhalten: \( 50 \% \) der Fahrräder verbleiben dort, \( 20 \% \) gehen an Station \( S_{1}, 30 \% \) an Station \( S_{3} \). Die Station \( S_{3} \) behält \( 80 \% \) ihrer Fahrräder, \( 10 \% \) werden an Station \( S_{1}, 10 \% \) an Station \( S_{2} \) abgegeben. Für den Fahrradverleih stellt sich die Frage, ob der gesamte Fahrradpark von 100 Fahrrädern so auf die drei Stationen aufgeteilt werden kann, dass sich von Tag zu Tag die Anzahl der Fahrräder an jeder Station nicht ändert (Schwankungen im Rückgabe verhalten seien hier vernachlässigt). Sollte dies möglich sein, dann könnte der Fahrradverleih Transporte von Fahrrädern von einer zur anderen Station einsparen und an jeder Station verlässlich Fahrräder anbieten. Zur Lösung dieser Frage verwenden wir einen Vektor \( x^{(n)} \in \mathbb{R}^{3} \), dessen Komponenten der Bestand an Fahrrädern in den Stationen am Tag \( n \) sind.
a) Geben Sie die Matrix \( A \) an, die den Übergang von \( x^{(n)} \) zu \( x^{(n+1)} \), den Bestand am Tag \( n+1 \), beschreibt.
b) Behandeln Sie die Frage, ob durch geeignete Verteilung der Fahrräder auf die Stationen der Bestand an Fahrrädern in jeder Station konstant gehalten werden kann, als Eigenwertproblem und bestimmen Sie die geeignete Verteilung, wenn möglich.

Problem/Ansatz:

Also man kann das ja als lineares Gleichungssystem aufbauen und da sieht man ja das es funktioniert, aber was genau ist damit gemeint das man dies als Matrix angibt die diesen Übergang x^(n) zu x^(n+1) beschreibt.

zu b) ja zeigen kann ich es ja aber halt nicht durch Eigenwerte, was haben die Eigenwerte überhaupt mit der Verteilung zutun, ich verstehe halt wie schon gesagt den Zusammenhang zwischen den Gleichungssystem und einer Übergangsmatrix nicht so ganz hier.

Comments

Damit ist gemeint, dass wenn du den Bestand am Tag n aller drei Stationen mit der Matrix multiplizierst, erhältst du den Bestand der Stationen am Tag n+1. Dabei entspricht eine Zeile des Vektors eben dem Bestand an einer Station.

Eigenvektoren zum Eigenwert 1, sind genau die Bestände der Stationen bei denen der Transport wegfällt. Denn wenn die Matrix den Übergang von Tag n nach Tag n+1 beschreibt und du einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 hast, dann ist dieser Vektor nach der Multiplikation eben immer noch der gleiche Vektor (Ax=1*x), d.h. Die Bestände am Tag n und n+1 sind gleich.

Hoffe das hilft dir etwas.

LG

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Meinst du so ungefähr?
Station S1:

60 % der Fahrräder bleiben dort.
30 % der Fahrräder gehen an Station S2.
10 % der Fahrräder gehen an Station S3.
Station S2:

50 % der Fahrräder bleiben dort.
20 % der Fahrräder gehen an Station S1.
30 % der Fahrräder gehen an Station S3.
Station S3:

80 % der Fahrräder bleiben dort.
10 % der Fahrräder gehen an Station S1.
10 % der Fahrräder gehen an Station S2.

a_11 = 0.6 (60 % der Fahrräder bleiben an Station S1)
a_12 = 0.3 (30 % der Fahrräder gehen von Station S1 zu S2)
a_13 = 0.1 (10 % der Fahrräder gehen von Station S1 zu S3)

a_21 = 0.2 (20 % der Fahrräder gehen von Station S2 zu S1)
a_22 = 0.5 (50 % der Fahrräder bleiben an Station S2)
a_23 = 0.3 (30 % der Fahrräder gehen von Station S2 zu S3)

a_31 = 0.1 (10 % der Fahrräder gehen von Station S3 zu S1)
a_32 = 0.1 (10 % der Fahrräder gehen von Station S3 zu S2)
a_33 = 0.8 (80 % der Fahrräder bleiben an Station S3)

Also ist die Matrix

0,6	0,3	0,1
0,2	0,5	0,3
0,1	0,1	0,8

also muss ich jetzt den Eigenvektor hierzu berechnen?

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Du hast Zeilen und Spalten vertauscht, ansonsten passt das.

Ja.

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Ich habe jetzt B berechnet für meine Matrix, da komme ich auf

Station 1 = Station 2 = 485 Räder

Station 3 = 728 Räder,

da ich dann auf die Eigenwerte 1, 0,5 und 0,4 komme

0,4 und 0,5 ergeben nicht positive Elemente in den Eigenvektoren also entnehme ich sinnvoll nur die positiven Elemente aus den Eigenvektor zu 1 ->

0,485

0,485

0,728

würde das sich ändern wenn ich die zeilen und Spalten tausche?

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und falls ja, warum muss ich die Zeilen vertauschen? Wo liegt mein Fehler

Answer 1

Hallo

wenn du das lineare GS bestimmen kannst, die aus x_n x_n+1 macht sind bilden die Koeffizienten des GS die Matrix M denn dann hast du ja das GS  Mx_n=x_n+1  der Vektor aus der Besetzungszahl der 3 Stationen ist

Gruß lul

Answer 2

Der Prozess sieht so aus:

Die Übergangsmatrix ist die spalten-stochastische Matrix

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 0.6 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 & 0.1 \\ 0.1 & 0.3 & 0.8 \\ \end{array} \right)$$

Wenn am Ende des Tages n die Fahrrad-Verteilung \(x^{(n)} = \begin{pmatrix}x_1^{(n)}\\x_2^{(n)}\\x_3^{(n)}\end{pmatrix}\) ist, dann liegt am Ende des Tages n+1 die folgende Verteilung vor:

$$x^{(n+1)} = Ax^{(n)}$$

Da die Matrix stochastisch ist und alle Einträge positiv sind, besitzt sie den Eigenwert 1 (mit algebraischer Vielfachheit 1) und einen dazugehörigen positiven Eigenvektor mit der Spaltensumme 1. Das ist die stationäre Verteilung

$$Ax^{\star} = x^{\star} \text{ mit } x^{\star} = \begin{pmatrix}0.25\\0.25\\0.5\end{pmatrix}$$

Bei 100 Fahrrädern ist also die Verteilung (25,25,50) diejenige, die den Bestand an jeder Station konstant hält.