Stabile Verteilung (Matrix)

Question

Normalerweise kann ich eine Übergangsmatrix zum Beispiel mit 1000 potenzieren und sehe dann sofort, ob es eine stabile Verteilung gibt (mathematisch ungenau, aber um sich halt einen ersten Überblick zu verschaffen).

Bei folgender Matrix (die die Übergänge von Froscheiern zu erwachsenen und schließlich alten Tieren beschreibt)

0	20	10
0,04	0	0
0	0,5	0

klappt das allerdings nicht, obwohl es eine stabile Verteilung gibt!

Meine Frage hierzu:

Liegt das daran, dass die Matrix nicht spaltenstochastisch ist?

Comments

Originalaufgabe?

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Besser habe ich es leider nicht:

(Männliche und weibliche Tiere werden nicht unterschieden, daher ergeben sich die "Eierzahlen"

10 und 20 anstatt 5 und 10.)

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@Mister:

Aber trotzdem stellen sich mir immer noch folgende Fragen:

I. In der Aufgabenstellung (aus einem Schulbuch, wie man sich denken kann - ich glaube, dort wird noch gar nicht mit Determinanten gerechnet) heißt es:

Zeigen Sie, dass es eine stabile Verteilung gibt, bei der sich die Zahlen von einem Intervall zum nächsten nicht verändern. 

II. Und wenn wir als Anfangspopulation 100 Eier, 4 geschlechtsreife Tiere und 2 alte Tiere haben, bleibt die Population - nach meiner Berechnung - in der nächsten Generation unverändert.

Dann wäre also eine stabile Verteilung abhängig von der Anfangspopulation??

Nochmals danke!

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Wo sind denn die Antworten von Mister?

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Ich habe meine Antwort gelöscht, nachdem ich festgestellt habe, dass die Matrix eine stabile Grenzmatrix hat entgegen der Angaben in der Frage.

Answer 1

Diesen Verhalten funktioniert schon bei einer zyklischen Matrix nicht.

Nehmen wir also folgende Matrix. Gibt es hierzu eine Grenzmatrix?

M = [0, 0, 4; 0.5, 0, 0; 0, 0.5, 0]

Kleiner Tipp: M^3 = E

Eine Grenzmatrix haben wir nur wenn sich jede beliebige Anfangsverteilung einer stabilen Grenzverteilung annähert. Das ist hier nicht der Fall. Hier sollen wir eine Population finden, die sich in der Nachfolgegeneration schon wiederholt. Dazubenutzen wir die Bedingung

M * v = v

[0, 20, 10; 0.04, 0, 0; 0, 0.5, 0]·[a, b, c] = [a, b, c]

Ich komme auf die Lösung: a = 50·c ∧ b = 2·c

Also wäre z.B. [50, 2, 1] so eine Anfangsverteilung, die sich im nächsten Schritt reproduziert.

Konntest du dem soweit folgen?

Comments

Wir können auch hier die Zyklen bewerten.

0.04·20 + 0.04·0.5·10 = 1

Ich vermute also ganz stark eine gleichbleibende Population die auf lange Sicht weder wächst noch schrumpft.

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Die Matrix hat doch aber eine stabile Grenzmatrix (http://matrixcalc.org/de/).

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Ja. Das war von mir sehr dumm formuliert.

Also man hat zwar eine Grenzmatrix, bei der man hier jedoch keine Grenzverteilung ablesen kann.

Wenn bei einer Grenzmatrix alle Spalten gleich aussehen, dann können wir die Grenzverteilung ablesen. Hier gebt es zwar eine Grenzmatrix aber keine stabile Grenzverteilung.

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Ja. Das war von mir sehr dumm formuliert. Meine obige gewählte Matrix hat keine Grenzmatrix.

Die Matrix der Aufgabenstellung hat eine Grenzmatrix, bei der man hier jedoch keine Grenzverteilung ablesen kann.

Wenn bei einer Grenzmatrix alle Spalten gleich aussehen, dann können wir die Grenzverteilung ablesen. In der Aufgabe gibt es zwar eine Grenzmatrix aber keine stabile Grenzverteilung.

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@Mathecoach, @ Mister:

Ja, dem konnte ich folgen :-)

Ich hatte in einem weiter oben stehenden Kommentar ja die Anfangsverteilung [100, 4, 2] angegeben - weil man die 100 so schön mit 0,04 multiplizieren kann und dann eine ganze Zahl erhält - mh, das wäre mit [50, 2, 1] natürlich auch gegangen :-).

Deine Erklärung war aber auch darüber hinaus sehr hilfreich!

Vielen Dank, und ebenfalls ein großes Dankeschön an Mister!