was wäre der Lösungsansatz, um die partikuläre Lösung zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Gegeben ist die Differenzialgleichung d2y/d2x−4⋅(dy/dx)+3⋅y=−2⋅x⋅sin(x)

Problem/Ansatz:

was wäre der Lösungsansatz, um die partikuläre Lösung zu bestimmen? Möglicherweise mit Lösungsschritten.

Danke im Voraus:)

Answer 1

Der Anatz ist

$$p(x) = (ax+b)\sin x + (cx+d)\cos x$$

Du differenzierst diesen Ausdruck zweimal und setzt entsprechend in die Differentialgleichung ein. Rechnung siehe hier (siehe unter "Alternate forms"):

$$2 (\sin(x) (a (x - 2) + b + 2 c x - c + 2 d) + \cos(x) (-2 a x + a - 2 (b + c) + c x + d))\stackrel{!}{=}-2x\sin x$$

Jetzt machst du nur noch einen Koeffizientenvergleich und erhältst

$$p(x) = \left(\frac{2}{25}-\frac{x}{5}\right) \sin (x)+\left(-\frac{2 x}{5}-\frac{11}{25}\right) \cos (x)$$