Ordnen Sie die Graphen der Funktion den Parametern begründet zu.

Question

Aufgabe:

Ordnen Sie die Graphen zu \( f_{k}(x) \) den Parametern \( k=-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 \) begründet zu.

a) \( f_{k}(x)=e^{-k \cdot x} \)

b) \( f_{k}(x)=\left(x^{2}-k\right) \cdot e^{x} \)

c) \( f_{k}(x)=(x-k) \cdot e^{x} \)

d) \( f_{k}(x)=x \cdot(x-k) \cdot e^{-x} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das begründen?

Answer 1

Bei b) und c) kannst Du x = 0 setzen und den Funktionswert für die fünf Parameter ausrechnen.

Answer 2

Zeichne die Funktionsgraphen jeweils mit den angegebenen Parametern k und ordne zu:

Answer 3

Ich würde

 - bei a) f(1) abschätzen,

 - bei b) den y-Achsenabschnitt k angeben,

- bei c) und d) die Nullstellen (x=0 und) x=k nennen.

:-)

Answer 4

Setze eine Stelle x ein an der sich die Funktionen gut unterscheiden und setzte dann mind. zwei verschiedene Parameterwerte ein. Ordne dann begründet zu

d)

f_k(x) = x * (x - k) * e^{-x}
f_k(1) = 1 * (1 - k) * e^{-1} = (1 - k) / e

f_-2(1) = (1 - (-2)) / e ≈ 1

f₂(1) = (1 - 2) / e ≈ - 1/3

An der Stelle x = 1 ist f_-2 der oberste Graph und f₂ der unterste Graph. Die anderen ordnen sich einfach dazwischen ein.

Du kannst auch eine Unterscheidung nach Nullstellen machen

fk(x) = x * (x - k) * e^{-x} = 0 → x = 0 oder x = k

Der Graph von f_-2 hat die Nullstelle bei x = -2 und der Graph von f₂ hat die Nullstelle bei x = 2. Die anderen ordnen sich einfach dazwischen ein.