Bilinearität einer Abbildung zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Auswertungsabbildung
\(f: V^{\vee} \times V \rightarrow K, \quad(\phi, v) \mapsto \phi(v)\)
bilinear ist.

\( V \) ist ein \( K \)-Vektorraum und \( V^{\vee} \) der Dualraum.

Answer 1

Linearität im ersten Argument:

Additivität:

\(f(\phi+\psi, v)=(\phi+\psi)(v)=\phi(v)+\psi(v)=f(\phi,v)+f(\psi,v)\)

Homogenität:

\(f(\lambda\cdot\phi,v)=(\lambda\cdot\phi)(v)=\lambda\cdot \phi(v)=\lambda\cdot f(\phi,v)\).

Hier wurde die Definition der Vektorraumstruktur des Dualraums

verwendet.

Nun du mit dem zweiten Argument. Hier wird im wesentlichen benutzt,

dass die Elemente des Dualraums lineare Abbildungen sind.

Comments

Kann man diesen Sachverhalt so beschreiben, dass man ihn sich irgendwie

vorstellen kann?

In welchen (praktischen??) Kontexten spielt er eine Rolle?

---

Bei endlich-dimensionalen Vektorräumen gibt es zu

jeder Basis \(e_1,\cdots,e_n\) die Dualbasis

\(e_1^*,\cdots, e_n^*\) mit \(e_i^*(e_k)=\delta_{ik}\)

(Kronecker-Delta). So kann man sich die Elemente von \(V^*\)

als Zeilenvektoren vorstellen (Koordinaten bzgl. Dualbasis).

\(f((u_1,\cdots, u_n), (v_1,\cdots,v_n)^T)\) ist dann das

Standardskalarprodukt \(\sum_i u_iv_i\).

In unendlich-dimensionalen Vektorräumen,

z.B. Hilberträumen in der Physik oder Funktionenräume,

sind die Verhältnisse komplizierter, da hier

\(V\) und \(V^*\) nicht mehr Isomorph sein müssen.

---

Danke, ermanus. das übersteigt leider meine Möglichkeiten.

Wo in der konkreten/angewandten Physik findet das Verwendung? Was kann man damit beschreiben?

Stringtheorie? Kosmologie? Quantenphysik?

---

Die gesamte Quantenphysik basiert auf den Eigenschaften

von Hilberträumen und ihren Operatoren ...