Zeigen Sie, dass aus der Existenz eines x* ∈ [a,b] mit f(x*)=0, dass ....

Question

Aufgabe:

Für eine Funktion \( f \in C^{2}([a, b]) \) mit \( m=\min _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|>0 \) auf \( [a, b] \) definiert man iterativ

\( x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}, \)
wobei der Startpunkt \( x_{0} \in[a, b] \) beliebig gewählt wird.

Zeigen Sie, dass aus der Existenz eines \( x_{*} \in[a, b] \) mit \( f\left(x_{*}\right)=0 \) folgt, dass
\( \left|x_{n+1}-x_{*}\right| \leq \frac{M}{2 m}\left|x_{n}-x_{*}\right|^{2}, \quad \text { mit } M:=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \)

Problem/Ansatz:

So recht, weiß ich nicht, wie vorzugehen ist. Wenn ich richtig liege geht es hier um das Newton-Verfahren. Außerdem hätte ich mir schon überlegt, dass man für x,y ∈ [a,b] doch folgende Darstellung (Taylor-Entwicklung mit Integralrestglied) verwendet werden könnte:

\( f(y)=f(x)+(y-x) f^{\prime}(x)+\int \limits_{x}^{y}(y-t) f^{\prime \prime}(t) d t \)

Wie ich die gegebene Aufgabe jetzt konkret zeige, verstehe bzw. sehe ich noch nicht?

Danke für Hilfe

Comments

In deinem Post fehlt, wie \(x_n\) und \(m\) definiert sind. Weiterhin scheint \(f\) mindestens zweimal stetig differenzierbar sein zu müssen.

Bitte deinen Post auf Vollständigkeit prüfen.

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Für eine Funktion \( f \in C^{2}([a, b]) \) mit \( m=\min _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|>0 \) auf \( [a, b] \) definiert man iterativ\( x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}, \)wobei der Startpunkt \( x_{0} \in[a, b] \) beliebig gewählt wird

Answer 1

Ich würde hier mit Taylor um \(x_n\) rangehen (hab's erst um \(x^{\star}\) probiert und festgestellt, dass um \(x_n\) geeignet ist.)

$$0=f(x^{\star}) = f(x_n) + f'(x_n)(x^{\star}-x_n) + \frac{f''(\xi)}2 (x^{\star}-x_n)^2 \quad (1)$$

Jetzt schauen wir uns erst einmal den abzuschätzenden Ausdruck an:

$$|x_{n+1}-x^{\star}| = \left| x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} - x^{\star} \right| \quad (2)$$

Jetzt schauen wir uns (1) nochmal an ... gucken ... gucken ... hoppla:

$$-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = (x^{\star}-x_n) + \frac{f''(\xi)}{2f'(x_n)}(x^{\star}-x_n)^2$$

Das setzen wir jetzt kühn in (2) ein und schauen, was passiert:

$$(2) = \left| \frac{f''(\xi)}{2f'(x_n)}(x^{\star}-x_n)^2 \right|$$

Den Rest überlass ich dir.

Comments

Vielen Dank für deinen Ansatz - zu 100% hab's ich  noch nicht verstanden, aber mal schauen, ob sich das legt, wenn ich mich an den Rest wage ☺

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So ganz hab ich es immer noch nicht verstanden, aber mit der Grundidee könnte ich was anfangen (danke ☺)

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Das Hauptproblem in der Aufgabe ist eigentlich, das Quadrat zu bekommen.

Das hab ich dir gegeben.

Jetzt musst du nur noch den Zähler und den Nenner auf [a,b] abschätzen.

Dann hast du die zu zeigende Ungleichung.

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Jetzt musst du nur noch den Zähler und den Nenner auf [a,b] abschätzen

Danke ☺