Aufgabe:
Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem oder Monty-Hall-Problem.
Es geht dabei um die Frage, ob eine Wahl, die zunächst zufällig unter drei
a priori gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten getroffen wurde, geändert
werden sollte, wenn zusätzliche Informationen gegeben werden. Die Aufgabe ähnelt der von Monty Hall moderierten Spielshow Let’s Make a
Deal, die im deutschen Sprachraum in der Variante Geh aufs Ganze!
bekannt wurde. Aufgeteilt in Einzelschritte, ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann,
bekannt sind:
1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und
Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat, dem die Position des Autos völlig unbekannt ist, wählt
ein Tor aus, das aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Fall A: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der
Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege
befindet.
5. Fall B: Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann muss
der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore öffnen, hinter dem
die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu
überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet, und er
erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.
Es sind die Ereignisse definiert:
Gi
: "Der Gewinn ist hinter Tor i " (i = 1, 2, 3).
Mj
: "Der Moderator hat das Tor j geöffnet" (j = 1, 2, 3).
Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der
Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet.
1) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten P(Gi), für i = 1, 2, 3 an.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(M3|Gi), für i = 1, 2, 3.
3) Mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
P(G1|M3) und P(G2|M3). Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln?
Problem/Ansatz:
1- P( Gi) ist gleich 1/3
ist das richtig
ich suche noch bitte die lösung für n 2 und 3
