Würde das als Begründung schon reichen?

Question

Aufgabe:

Extremstellen (Funktion mit geradem Stück). Wir betrachten die Funktion x^2, gegenüber der üblichen x^2 Funktion besitzt diese Funktion ein "gerades Stück am Tiefpunkt. Gefragt wird nach der Anzahl der Extrempunkte.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist das der Graph unendlich viele Extremstellen wegen diesem geraden Stück aufweist. Weil wenn man sich die Definition für lokale Hoch/Tiefpunkte anschaut: f(x) ≤ f(x_0)/f(x) ≥ f(x_0), dann ist das ja auf dieser Geraden gegeben und es existieren unendlich viele lokale Hoch und Tiefpunkte. Würde das als Begründung schon reichen?

Aus einem Kurztest der Veranstaltung ist bereits bekannt das es definitv unendlich viele Extrempunkte und lokale Hochpunkte gibt. Jedoch bin ich etwas unsicher was den Beweis angeht.

Answer 1

Wir betrachten die Funktion x^2, gegenüber der üblichen x^2 Funktion besitzt diese Funktion ein "gerades Stück am Tiefpunkt.

Welche Funktion wird genau betrachtet?

Comments

Wir haben keine konkrete Funktion gegeben, sondern nur ein Bild eines Graphen ohne Werte. Das ist eine x^2 Parabel die in der Mitte auseinandergeozgen wurde und über eine zur x-Achse parallel laufenden Geraden verbunden wurde.

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Wenn die Funktion also an mehreren Stellen eine Nullstelle hat dann gibt es unendlich viele Extrempunkte.

Sieht es allerdings nur so aus wie bei y = x^10, dann gibt es tatsächlich nur einen Extrempunkt weil es bei x^10 ja auch nur eine Nullstelle gibt.

~plot~ x^2;x^10;[[-1.2|1.2|-0.4|1.2]] ~plot~

Du sieht, was grafisch wie Null aussieht muss nicht wirklich Null sein.

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Ja das ist mir bewusst, es ist vom Aussehen her wie x^10 nur halt konstant, also durchgehend eine Nullstelle. Meine Frage war ja aber ob eine Begründung über die angegebene Funktion ausreicht.

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Du kannst nichts begründen, wenn du keinen konkreten Funktionsterm hast. Wie gesagt, wenn es tatsächlich unendlich Viele Nullstellen gibt weil es einfach nur gerade gemacht wurde, dann gibt es auch unendlich viele Extrempunkte.

Wie du bereits gesagt hast, gilt für einen Tiefpunkt bei x0

f(x0) ≤ f(x)

Der Funktionswert am Tiefpunkt ist kleiner oder gleich allen anderen Funktionswerten der Funktion. Und das wäre dann für alle Nullstellen der Fall, weil es sonst nur Funktionswerte > 0 gibt.