Kurvendiskussion, f(x) = x + arctan(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : ℝ →ℝ mit      f(x) = x + arctan(x).

a) Zeigen Sie, dass für jedes reelle c die Gleichung f(x) = c stets eine eindeutige Lösung x besitzt.

b) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte und Wendepunkte von f.

Frage zu a), hat jemand eine idee wie ich das angehen kann? Hab irgenwie kein plan.

Frage zu b), die erste ableitung von f(x) = x + arctan(x) ist = $$\frac{1}{x^2 + 1}+1$$

um ein Extrempunkt auszurechnen, muss ich ja die erste ableitung nullsetzten, dieses geht hier jedoch nicht? Was mache ich falsch?

Answer 1

Hallo

da f'>0 für alle x ist die Funktion auf ganz R monoton steigend ,also kein lokales max oder Min, einen Wendepunkt kannst du finden.

wegen des monotonen Steigens>1 ist auch f=c überall eindeutig lösbar.

Gruß lul

Answer 2

Frage zu a), hat jemand eine idee wie ich das angehen kann?

a) Zeige dass die Funktion bijektiv ist.

muss ich ja die erste ableitung nullsetzten, dieses geht hier jedoch nicht?

Natürlich geht das. Das sieht dann so aus:

        \(\frac{1}{x^2+1}+1 = 0\).

Oder meinst du eher, diese Gleichung hätte keine Lösung. Dann hätte die Funktion keine lokalen Extrempunkte.

Comments

a) Zeige dass die Funktion bijektiv ist.

Okay, ich schau mal nach, wie ich das hinkriege, danke!

Natürlich geht das. Das sieht dann so aus: \(\frac{1}{x^2+1}+1 = 0\).Oder meinst du eher, diese Gleichung hätte keine Lösung. Dann hätte die Funktion keine lokalen Extrempunkte.

Ja, das meine ich, die Gleichung hat keine Lösung. Ich dachte ich hätte etwas falsch gemacht, dann hat die wohl keine lokalen Extrempunkte.

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Die Funktion ist bijektiv und stetig. Da wird's für die Funktion ganz ganz schwierig, auch noch lokale Extrempunkte zu haben. Ein lokaler Teifpunkt behauptet ja, dass es links und rechts keine niedrigeren Punkte gibt, sondern nur welche auf gleicher Höhe oder höher. Das ist dann aber der Injektivität nicht recht. Und die ist ja sehr eng mit der Bijektivität befreundet.