Symmetrie
Achsensymmetrie ?
f(x)=f(-x)
Punktsymmetrie ?
-f(x)=f(-x)
Kannst du gerne mal selbst austesten, nicht schwer!
Nullstellen:
f(x)=4x3-6x2-9x=0 |:4
0=x³-1,5x²-2,5x
f(x)=x(x²-1,5x-2,5)=0
Daraus folgt, dass unsere erste Nullstelle bei (0|0) liegt, da das vordere x( vor der Klammer) nur Null sein müsste, um gleich den ganzen Term 0 werden zu lassen. x1=0
So nun haben wir aber noch einen Teil in der Klammer.
Hier wenden wir die pq-Formel an.
x²-1,5x-2,5=0
x2/31,5/2±√(1,5/2)²+2,5 =2,5 v -1
Unsere Nullstellen : (0|0) (-1|0) und (2,5|0)
Extremstellen:
f'(x)=0
Dazu bilden wir die erste Ableitung.
f(x) = 4x^{3} - 6x^{2} - 9x
f'(x) = 12x^{2} - 12x - 9
Wieder gleich 0 setzen.
12x²-12x-9=0 |:12
x²-1-9/12=0
Wieder die pq-Formel
Ex1/2=1/2±√(1/2)²+9/12 = 3/2 v -1/2
Das setzen wir wieder in die f(x) ein, dadurch erhältst du den y Wert, das packst du auch alleine !
Ist es jedoch ein Hoch-oder Tiefpunkt ?
Dazu bilden wir die 2.Ableitung.
f''(x)=24x-12. Hier setzen wir beide Werte ein, 3/2 und -1/2
Ex1(3/2|y)-->24 → Tiefpunkt, da Wert > 0
Ex2(-1/2|y)-->-24-->Hochpunkt, da Wert < 0
Wendepunkte:
f''(x)=24x-12 , erneut 0 setzen
24x-12=0
24x=12
x=1/2. das ist die x Koordinate des Wendepunkts. Auch hier überlasse ich dir das Einsetzen in f(x) für die y-Koordinate.
Ist es ein Rechts - Links Wendepunkt oder umgekehrt?
Dritte Ableitung bilden:
f'''(x)=24
Da der Wert über 0 liegt ist es ein rechts-links Wendepunkt, wäre er kleiner ein links-rechts!
Viel Spaß beim Einsetzen, bei Fragen sehr gerne melden
PS: Meist soll die Funktion noch gezeichnet werden, wobei du deine Ergebnisse nochmals prüfen kannst.
~plot~ 4x^3 - 6x^2 - 9x ~plot~
