Bestimme die Hesse-Matrix Abbildung f: ℝ³→ℝ mit

Question

Aufgabe:

Bestimme die Hesse-Matrix Abbildung f: ℝ³→ℝ mit

Text erkannt:

\( f(x, y, z)=e^{-1-x^{2}-y^{2}-3 z} \)

Answer 1

Aloha :)

Die Hesse-Matrix ist die transponierte Jacobi-Matrix des Gradienten.

Zur Bestimmung der Hesse-Matrix von$$f(x;y;z)=e^{-1-x^2-y^2-3z}$$berechnest du also zuerst den Gradienten:

$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}=e^{-1-x^2-y^2-3z}\begin{pmatrix}-2x\\-2y\\-3\end{pmatrix}$$und berechnest von jeder einzelnene Komponenten-Funktion dieses Gradienten wieder den Gradienten:

$$\operatorname{grad}(\operatorname{grad}_1f(x;y;z))=\operatorname{grad}\left(-e^{-1-x^2-y^2-3z}\cdot2x\right)=e^{-1-x^2-y^2-3z}\begin{pmatrix}4x^2-2\\4xy\\6x\end{pmatrix}$$

$$\operatorname{grad}(\operatorname{grad}_2f(x;y;z))=\operatorname{grad}\left(-e^{-1-x^2-y^2-3z}\cdot2y\right)=e^{-1-x^2-y^2-3z}\begin{pmatrix}\pink{4xy}\\4y^2-2\\6y\end{pmatrix}$$

$$\operatorname{grad}(\operatorname{grad}_3f(x;y;z))=\operatorname{grad}\left(-e^{-1-x^2-y^2-3z}\cdot3\right)=e^{-1-x^2-y^2-3z}\begin{pmatrix}\pink{6x}\\\pink{6y}\\9\end{pmatrix}$$

Diese drei Gradienten schreibst du nun als Spaltenvektoren in die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=e^{-1-x^2-y^2-3z}\begin{pmatrix}4x^2-2 & \pink{4xy} & \pink{6x}\\4xy & 4y^2-2 & \pink{6y}\\6x & 6y & 9\end{pmatrix}$$

Bei stetigen zweiten Ableitungen (wie hier) ist die Hesse-Matrix symmetrisch, sodass du dir die Berechnung der pinken Ableitungen sparen kannst.

Answer 2

Die Hesse-Matrix ist

        \(\mathbf{H}_f=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial z}\\\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2f}{\partial y\partial z}\\\frac{\partial^2f}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^2f}{\partial z^2}\\\end{pmatrix}\)