Problem bei Optimierungs-/Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x². Durch den Punkt P(u/u²), der auuf dem Graphen der Funktion f zwischen den Punkten O(0/0) und T(2/4) liegt, wird ein achsenparalleles Rechteck PQRS mit den Punkten Q(u/4), R(0/4) und S(0/u²) festgelegt.

a) Bestimmen Sie den Umfang dieses Rechtecks für u=0; u=1,5 und u=2

b) Geben Sie an, ob für u im Intervall [0;2] der Umfang des Rechtecks PQRS ein Maximum oder ein Minimum annimmt. Bestimmen sie dieses Optimum.

Problem/Ansatz:

Wenn ich bei a) zum Beispiel für u 0 einsetze passiert es, dass sich Punkte überlappen und dadurch kein achsenparalleles Rechteck mehr entsteht und ich den Umfang auch nicht mehr richtig berechnen kann. Es entsteht bei 0 zwar ein Rechteck, aber kein achsenparalleles. Setze ich für u 2 ein kommt es wieder dazu, dass sich zwei Punkte überlappen und ein Dreieck entsteht.

Ich habe die Lösungen von b) angeschaut und ich verstehe nicht wie man auf die Funktion

f(x)= Umfang(u) = 2u + 2(4 - f(u)) kommt.

Answer 1

Das Achsenparallele Rechteck hat die Koordinaten

P(u | u^2)
Q(u | 4)
R(0 | 4)
S(0 | u^2)

a) Bestimmen Sie den Umfang dieses Rechtecks für u=0; u=1,5 und u=2

U(u) = 2·u + 2·(4 - u^2) = - 2·u^2 + 2·u + 8

b) Geben Sie an, ob für u im Intervall [0;2] der Umfang des Rechtecks PQRS ein Maximum oder ein Minimum annimmt. Bestimmen sie dieses Optimum.

Da U(u) eine nach unten geöffnete Parabel ist, wird sicher ein Maximum angenommen

U'(u) = - 4·u + 2 = 0 → u = 0.5

U(0.5) = - 2·0.5^2 + 2·0.5 + 8 = 8.5

Comments

Wenn ich den Umfang mit zum Beispiel u=0 berechnen möchte habe ich die Punkte R(0/4), Q(0/4), P(0/0) und S(0/0). Wenn ich die Punkte einzeichne habe ich kein Rechteck und kann auch kein Umfang berechnen.

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Für u = 0 hast du ein entartetes Rechteck mit den Punkten

P(0 | 0)
Q(0 | 4)
R(0 | 4)
S(0 | 0)

Das hat also eine Breite von 0 und eine Höhe von 4. Also einen Umfang von 8.

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Und wenn ich für u 1,5 einsetze bekomme ich die Punkte

S(0/2,25), P(5/25), Q(5/5) und R(0/4)

dann habe ich ja ein Rechteck dass nicht achsenparallel ist sondern schräg.

Wie berechne ich dann die Länge von den schrägen Seiten damit ich den Umfang berechnen kann? Mache ich das mit einer linearen Funktion oder wie?