Extremwertaufgabe mit Pythagoras lösen. Tunnel von 12m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt.

Question

Ein Tunnel von 12 m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m Durchmesser (Abb.). Durch den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigbar) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird? (Hinweis: Pythagoras)

Also ich habe bis jetzt:

HB: a²+b²=c²

NB: (1/2b)²+h²=4²

Wie setzt man nun fort? Wie lautet die Zielfunktion?

Upps, ich habe es falsch hingeschrieben. Ich meine:
HB: A(h,b)=h*b
NB:a^2+b^2=c^2
(1/2b)^2+h^2=4^2

Answer 1

(x/2)^2 + y^2 = 4^2 --> x = 2·√(16 - y^2)

A = x * y 

A = 2·√(16 - y^2) * y 

A' = 4·(8 - y^2) / √(16 - y^2) = 0 --> y = 2·√2 = 2.828 m

x = 2·√(16 - 8) = 4·√2 = 5.657

Der Durchgang ist also halb so hoch wie breit.

Comments

A' ist die Zielfunktion? Ich verstehe nicht, wie du rechnerisch auf die Ergebnisse kommst, vor allem bei der 1. Ableitung.

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A = 2·√(16 - y^2) * y

Produktregel

A = 2·(-2y/(2√(16 - y^2)) * y + √(16 - y^2) * 1)

Nun zusammenfassen

A = 2·(-y^2/√(16 - y^2) + √(16 - y^2))

A = 2·(-y^2/√(16 - y^2) + (16 - y^2)/√(16 - y^2))

A = 2·(-y^2 + (16 - y^2))/√(16 - y^2)

A = 2·(16 - 2y^2)/√(16 - y^2)

A = 4·(8 - y^2)/√(16 - y^2)

Geh so kleinschrittig vor wie du halt musst.