Halbkreisförmiger Querschnitt des Tunnels. Wie hoch darf der LKW höchstens sein? (Satz des Pythagoras)

Question

in meinem Mathebuch gibt es eine Aufgabe, die sich um das Thema Satz des Pythagoras handelt. Sie geht so:

" Der Querschnitt eines Tunnels hat die Form eines Halbkreises. Am Rand des Tunnels befindet sich links und rechts jeweils ein 1,5 m breiter, nicht befahrbarer Seitenstreifen. Der Tunnel ist insgesamt 12 m breit. Berechne, wie hoch der LKW höchstens sein darf, damit er ohne Gefahr durch den Tunnel fahren kann."

Ich habe dies so gerechnet:

Zuerstmal gehe ich davon aus, dass der höchste Punkt des Tunnels über dem Mittelpunkt der Fahrban sein muss und dementsprechend muss der LKW einen cm kleiner als dieser Punkt sein. Ich bin auf die Idee gekommen, dass man ein rechtwinkliges Dreieck vom Mittelpunkt der Fahrban, bis zum oberen Ende des Tunnels bis hin zum Ende des Seitenstreifens bildet. Somit hätte man dann auf der einen Seite die Länge 1,5 und 4,5, was p und q sein könnten. Dies multipliziert man dann und zieht dann halt die Wurzel vom Ergebnis und man hat die Höhe.

Dies ist aber falsch, oder? Weil p und q gibt es ja nur auf der Hypotenuse. Kann man hier einer helfen und mir erklären, wie man hier rechnet.

LG

Comments

steht bei der aufgabe dabei, dass du den satz des pythagoras verwenden sollst?

ich würde das nämlich anders lösen, oder ich hab grad ein brett vor dem kopf :D

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Steht nicht dabei, aber wir haben gerade das Thema Satz des Pythagoras bzw. Höhensatz.

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Hypotenuse r = 6 m
Eine Kathete = ( 12 - 2 * 1.5 ) / 2 = 9 / 2 = 4.5 m
6^2 = 4.5^2 + h^2

Diese Höhe gilt für einen 9 m breiten LKW.

Es kommt aber auf die Breite des LKWs an.
Dadurch ergeben sich andere Höhen.

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nein, das ist nicht ganz richtig, man muss ja davon ausgehen das er nicht perfekt gerade fährt, der "Pendelt"bzw. eiert bei der fahrt ja immer hin und her und vorausgesetzt er verlässt seinen fahrstreifen nicht, darf er höchstens 3,96m hoch sein, auch wenn er (auch wenn es unrealistisch ist) nur 2 cm breit wäre und ganz außen fährt würde er mit der decke kollidieren

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Es gibt mehrere Möglichkeiten.
Grundsätzlich : die max. Höhe des LKWs ist
abhängig von der Breite.
Möglichkeit c.)
Der Tunnel wird nur in einer Richtung befahren.
Die Richtung wird von einer Ampel geregelt.

mfg Georg

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du vernachlässigst aber den seitenabstand also die 1,5m die nicht befahrbar sind wenn ich mich da jetzt nicht irre.

also bei mehr als 3,94m höhe des lkw beseht gefahr, dass er mit der decke kollidiert, wenn er am rand seines fahrstreifens fährt. wenn er kleiner als 3,94m ist und man voraussetzt das der fahrer fahren kann und im fahrstreifen bleibt, besteht keinerlei gefahr. ist doch egal wie breit er ist, das ändert doch nur das er irgendwann mit 2 ecken anstößt und nicht mehr mit einer

EDIT: oder das problem ist, das ich voraussetze das er die mitte nicht überfährt wegen eventuellem gegenverkehr, dann hast du auf jeden fall recht wenn du diesen fall ausschließt.(steht ja auch nicht in der aufgabenstellung das es eine gegenfahrbahn gibt.)

Answer 1

hier sollte dir eine kleine zeichnung helfen, ich denke mit der zeichnung kommst du schon alleine zur lösung ;)

außerdem kannst du das auch ganz normal mit dem satz des pythagoras lösen also der höhensatz ist nicht notwendig, ein kleiner tipp, die Hypotenuse ist der radius des halbkreises

Comments

wenn etwas unklar ist helfe ich dir auch gerne bis zur lösung, ich hatte gerade echt ein brett vor dem kopf, ist eig. ganz leicht! :)

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Ehrlich gesagt verstehe ich es immer noch nicht...

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Oh, sorry, jetzt doch. Bei einem solchen Kreis sind ja die Längen immer gleich, sorry.(Radius und Thaleakreis und so .

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okay, gehen wir mal von dem mittelpunkt des tunnels aus von hier aus hast du ja die ankathete die sozusagen über den boden verläuft und die gegenkathete, die die höhe in 1,5m entfernung vom tunnel"rand" angibt, die auszurechnen ist, da der Lkw bzw. das fahrzeug hier die kleinste entfernung zur decke haben kann, da hier der lkw zuerst in gefahr läuft die decke zu berühren

die Hypotenuse wäre der Radius des halbkreises also r=6m

die "boden"kathete wäre a=6m-1,5m also 4,5m und nun kannst du schon rechnen:

$$r^2=a^2+h^2$$ h ist die höhe die berechnet werden soll

nun nach h umstellen:
$$h=\sqrt{r^2-a^2}$$

nur noch die werte einsetzen und fertig ;)

$$h=\sqrt{(6m)^2-(4,5m)^2}$$

$$h=\sqrt{15,75m^2}$$

$$h=3,968m$$ ;)

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...so ist es! K.G.